1?11? 即 ln(k?1)?lnk???2、3、?、n， ?k?1、2?kk?1?1?111?1ln(k?1)????????? 将上述n个不等式累加得 ：。 2?23n?2(n?1)即 1?111n ?????ln(n?1)?23n2(n?1) 【解法二】用数学归纳法证明 ①当n?1时，左边?1，右边?ln2?②假设n?k时不等式成立。即 1?1?1，不等式成立 4111k ?????ln(k?1)?23k2(k?1)1111k1k?2 则1?????? ?ln(k?1)???ln(k?1)?23kk?12(k?1)k?12(k?1)1 由（2）知：当a?时，有f(x)?lnx(x?1) 2111 令a?，有f(x)?(x?)?lnx(x?1) 22x1k?2k?1k?2k?2(?)?ln?ln(k?2)?ln(k?1) 令x?，得：2k?1k?2k?1k?1 ?ln(k?1)? 所以 1?k?2k?1?ln(k?2)? 2(k?1)2(k?2)1111k?1 ??????ln(k?2)?23kk?12(k?2) 就是说， 当n?k?1时，不等式也成立。 根据①和②，可知不等式对任何n?N都成立。
【例11】（2011 湖南 理）已知函数f（x） =x3，g（x）=x+x。 （1）求函数h(x)?f(x)?g(x)的零点个数，并说明理由；
（2）设数列{an}(n?N*) 满足a1?a(a?0)，f(an?1)?g(an)，证明：存在常
数M，使得对于任意的n?N*，都有an?M.
【解】（1）由h(x)?x3?x?x 知：x?[0,??)， 而h(0)?0，且h(1)??1?0,h(2)?6?2?0， 则x?0为h(x)的一个零点，且h(x)在（1，）2内有零点， 1?1因此h(x)至少有两个零点。 易知 h'(x)?3x2?1?x2， 23?1?11记?(x)?3x?1?x2，则?'(x)?6x?x2。 242当x?(0,??)时，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x) 在?'(x)?0，(0,??)内至多只有一个零点。 ?3??3?又因为?(1)?0,??,1?内有零点， ??0，则?(x)在??3??3?所以?(x)在(0,??)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x?(0,x1)时，?(x)??'(x1)?0；当x?(x1,??)时，?(x)??'(x1)?0； 所以，当x?(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)?0， 则h(x)在(0,x1)内无零点； 当x?(x1,??)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,??)内至多只有一个零点；从而 h(x)在(0,??)内至多只有一个零点。 综上所述，h(x)有且只有两个零点。 （2）记h(x)的正零点为x0，即x03?x0?x0。 ㈠当a?x0时，由a1?a，即a1?x0.而a23?a1?a1?x0?x0?x03，因此a2?x0，由此猜测：an?x0。下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，a1?x0显然成立； ②假设当n?k(k?1)时，有ak?x0成立，则当n?k?1时，由 ak?13?ak?ak?x0?x0?x03知：因此，当n?k?1时，ak?1?x0，ak?1?x0成立。故对任意的n?N*，an?x0 成立。 ㈡当a?x0时，由（1）知：则h(a)?h(x0)?0，h(x)在(x0,??)上单调递增。即a3?a?a。从而)a23?a1?a1?a?a?a3，即a2?a，由此猜测：an?a。下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，a1?a显然成立； ②假设当n?k(k?1)时，有ak?a成立，则当n?k?1时，由 因此，当n?k?1时，ak?13?ak?ak?a?a?a3知，ak?1?a，ak?1?a 成立。 故对任意的n?N*，an?a成立。 综上所述，存在常数M?max{x0,a}，使得对于任意的n?N*，都有an?M.
【专题演练】
1．函数y?log22?x的图象（ ） 2?x A． 关于原点对称 B．关于主线y??x对称 C． 关于y轴对称 D．关于直线y?x对称 2． 定义在R上的偶函数f?x?的部分图象如右图所示，则在
0上，下列函数中与f?x?的单调性不同的是（ ）??2,?A．y?x2?1 B． y?|x|?1
x??2x?1,x?0?e,x?oC． y??3 D．y???x
??x?1,x?0?e,x?03．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则
( )
A．f(?25)?f(11)?f(80) B． f(80)?f(11)?f(?25) C． f(11)?f(80)?f(?25) D． f(?25)?f(80)?f(11) 4． 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?为 ．
5． 已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的
切线方程是 ．
?log2(1?x),x?0，则f（2009）的值
?f(x?1)?f(x?2),x?06．已知函数f(x)?x3?ax2?bx,且f'(?1)?0 （I）试用含a的代数式表示b； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）令a??1，设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，
证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．
7．已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10． （I）求函数f(x)的解析式；
（II）设函数g(x)?f(x)?mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．
【参考答案】 1．答案：A 解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A． 2．答案：C 解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在??2,0?上单调递减，注意到要与f?x?的单调性不同，故所求的函数在??2,0?上应单调2y?x?1在???,1上递减；函数y?x?1在???,0时单调递减；递增．而函数??1313?2x?1,x?0函数y??3在（??,0]上单调递减，理由如下y＇=3x2>0(x<0)，故函?x?1,x?0x??x?e,x?0数单调递增，显然符合题意；而函数y???x，有y＇=-e<0(x<0)， ??e,x?0故其在（??,0]上单调递减，不符合题意，综上选C． 3．答案：D 解析：因为f(x)满足f(x?4)??f(x)，所以f(x?8)?f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(?25)?f(?1)，f(80)?f(0)，f(11)?f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0，得f(80)?f(0)?0，f(?25)?f(?1)??f(1)，而由f(x?4)??f(x)得f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)?f(0)?0，所以?f(1)?0，即f(?25)?f(80)?f(11)。 4．答案：1 解析：由已知得f(?1)?log22?1，f(0)?0，f(1)?f(0)?f(?1)??1， f(2)?f(1)?f(0)??1，f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0， f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1，f(5)?f(4)?f(3)?1，f(6)?f(5)?f(4)?0， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f（2009）= f（5）=1． 5．答案：y?2x?1 解析：由f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8得： f(2?x)?2f(x)?(2?x)2?8(2?x)?8， 即2f(x)?f(2?x)?x2?4x?4，∴f(x)?x2∴f/(x)?2x， ∴切线方程为y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0． 6．解析：（I）依题意，得f'(x)?x2?2ax?b， 由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1． （Ⅱ）由（I）得f(x)?x3?ax2?(2a?1)x， 故f'(x)?x2?2ax?2a?1?(x?1)(x?2a?1)， 令f'(x)?0，则x??1或x?1?2a， ①当a?1时，1?2a??1， 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表： x f'(x) f(x) (??,1?2a) (?2a,?1) 13(?1??) + 单调递增 - 单调递减 + 单调递增