不妨设A(x1,0),B(x2,0)?0?x1?x2?，则 0?x1?1?x2. a?2?由（II）得f??x1???a??11?f???x1??f(x1)?0. ?aa?2x1?x21从而x2??x1,于是x0??.， 由（I）知，f?(x0)?0. a2a
【例8】（2011 江苏 19）已知a，b是实数，函数f(x)?x3?ax,g(x)?x2?bx, f?(x)
和g?(x) 是f(x)、g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.
（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取
值范围； （2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单
调性一致，求a?b的最大值.
【解析】?f(x)?x3?ax,g(x)?x2?bx,?f?(x)?3x2?a,g?(x)?2x?b （1）因为函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致， 所以，对?x?[?1,??),f'(x)?g'(x)?0恒成立 即?x?[?1,??),(3x2+a)(2x?b)?0恒成立。 ?a?0,3x2?a?0,??x?[?1,??),2x+b?0 即,??x?[?1,??),b??2x,?b?2，故b的取值范围是[2,??) a?（2）【法一】由f(x)?0得：x??? 3若b?0，则由a?0，0?(a,b),f?(0)?g?(0)?ab?0，于是f(x)和g(x)在区间(a,b)上不是单调性一致, 所以b?0. a?因为当x?(??,0)时，,g(x)?0；当x?(??,??)时，,f?(x)?0； 3当x?(??a,0)时，f?(x)?0所以要使f?(x)g?(x)?0, 3aa11,b???,即??a?0,??b?0, 3333只有a???11?21???f(x)g(x)?6x所以|a?b|?。 取a??,b?0，则?x?? 9??33?1?1当x???,0?时, f'(x)g'(x)?0。 因此|a?b|max? 3?3?【法二】①当b?a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间(b,a)上单调性一致， 所以，?x?(b,a)， f'(x)g'(x)?0，即?x?(b,a)，(3x2+a)(2x?b)?0， 因为 b?a?0，所以 2x?b?0。故有 ?x?(b,a),a??3x2，即b?a??3b2 设z?a?b，考虑点(b,a)的可行域，函数y??3x2的斜率为1的切线的切设为11111，则，得：，从而 y??x0???zmax???(?)?。(x0,y0)?6x0?101261266②当a?b?0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，\x巫(a,b),f'(x)g'(x)?0,，即 \x?(a,b),(3xa)(2x+b)?0, ?b<0,\\\x?(a,b),2xb<0，\\\x危(a,b),a-3x2, \\a?3a2, 从而得：-11＃a0,，\\(b-a)max= 33f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，③当a?0?b时，因为，函数\x巫(a,b),f'(x)g'(x)?0,即\x?(a,b),(3x?b?0,而x=0时，(3xa)(2x+b)?0, +a)(2x+b)=ab<0，不符合题意， a)(2x+b)?0,易知，④当a?0?b时，由题意：\x?(a,b),(3x\x?(a,b),2xb<0， \\\x?(a,b),3x\\-11
考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.
【例9】（2009 湖北）已知关于x的函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x)。.
令g(x)＝f?(x),记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值： （Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 【解析】（I） ?f'(x)??x2?2bx?c，由f(x)在x?1处有极值? ?f'(1)??1?2b?c?0可得 ?14解得 ?f(1)???b?c?bc???33?434313?b?1,或 ??c??1 ?b??1? c?3?22若b?1,c??1，则f'(x)??x?2x?1??(x?1)?0，此时f(x)没有极值； 2若b??1,c?3，则f'(x)??x?2x?3??(x?1)(x?1)。 列表如下： x f'(x) f(x) (??,?3) ? ?3 (?3,1) 1 0 极大值? 43(1,??) ? 0 极小值?12 43+ ? ? ? 所以当x?1时，f(x)有极大值?， 故b??1，c?3即为所求。 （Ⅱ）【法一】：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| 当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1.1]之外。 ?f'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得。故M应是g(?1)和g(1)中较大的一个 ?2M?g(1)?g(?1)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?|4b|?4,即M?2 【法二】（反证法）：因为|b|?1，所以函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1,1]之外。 ?f'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得。故M应是g(?1)和g(1)中较g(?1)?|?1?2b?c|?2大的一个。 假设M?2，则 g(1)?|?1?2b?c|?2将上述两式相加得：4?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?4|b|?4，导致矛盾，?M?2 22（Ⅲ）【法一】：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)?b?c| （1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M?2； （2）当|b|?1时，函数y?f'(x）的对称轴x?b位于区间[?1,1]内， 此时M?max?g(?1),g(1),g(b)? 2由f'(1)?f'(?1)?4b,有f'(b)?f'(?1)?b(?1)?0 ①若?1?b?0,，则，f'(1)?f'(?1)?f'(b),?g(?1)?max?g(1),g(b)?，于是 M?max?|f'(1),|f'(b)|??1111(|f'(1)|?f'(b)|)?|f'(1)?f'(b)|?(b?1)2? 2222②若0?b?1，则f'(?1)?f'(1)?f'(b),?g(1)?max?g(?1),g(b)?。 于是 M?max?|f'(?1)|,|f'(b)|??1111(|f'(?1)|?|f'(b)|)?|f'(?1)?f'(b)|?(b?1)2? 2222综上，对任意的b、c都有M? 而当b?0,c?时，g(x)??x2?1211在区间[?1,1]上的最大值M? 221212故 M?k对任意的b、c恒成立的k的最大值为。 【法二】：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| （1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M?2； （2）当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1,1]内， 此时M?max?g(?1),g(1),g(b)? 4M?g(?1)?g(1)?2g(h)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?2|b2?c|
?|?1?2b?c?(?1?2b?c)?2(b2?c)|?|2b2?2|?2，即M? 12下同解法1 【例10】（2010 湖北）已知函数f(x)?ax?方程为y?x?1
（1）用a表示出b、c。
（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围。 （3）证明：1?111n?????ln(n?1)?(n?1) 23n2(n?1)b?f(l)?a?b?c?0?b?a?1，则有：，解得 ??2x?f'(l)?a?b?1?c?l?2ab?c(a?0)的图象在点(1,f(1))处的切线x【解析】（1）f'(x)?a?a?1?1?2a， xa?1?1?2a?lnxx??1,???易知 1g(1)?0， 设 g(x)?f(x)?lnx?ax?。x 1?aa(x?1)(x?)2a?11ax?x?(a?1)a 则 g'(x)?a?2?? ?22xxxx （2）由（Ⅰ）知，f(x)?ax? 令 g?(x)?0，求得：x?1 或 x?①若1?a a1?a11?a?1即 o?a?当1?x?时，g'(x)?0，g(x)是减函数， a2a，。所以g(x)?g(l)?o，有f(x)?lnx，故f(x)?lnx在?1,???上不恒成立。 ②若1?a1?l ，即a?当x?1时，g?(x)?0，g(x)是增函数，所以， a2。 g(x)?g(1)?0，故f(x)?lnx恒成立。 ? 综上所述，所求a的取值范围为?,??? ??1?2（3））【解法一】由（2）知：当a? 令a? 令x?1时，有f(x)?lnx?x?1?。 211?1?1?1?，有f(x)??x???lnx?x?1?。当x?1时，?x???lnx。 22?x?2?x?k+1k+11?k+1k?1?11?，有ln???????? kk2?kk?1?2?kk?1?