【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位臵关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答．体现了对分类讨论思想的考查，分类讨论时，要注意该分类时才分类，务必要全面．
【例5】已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调递增，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围
是（ ）
12231【解析】由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)， ∴得f(|2x－1|)＜f()，再根据3112f(x)的单调性，得|2x－1|＜，解得＜x＜． 【答案】B 33313（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
132313231223【点评】该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式，体现的对转化思想的考查，同时还综合考查了函数的性质，而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性．考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点，而且成了一个固定的必考题型．
【例6】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层
2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x?10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=【解析】设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得： 购地总费用）
建筑总面积2160?1000010800y?(560?48x)??560?48x?2000xx则y??48?(x?10,x?N*) 108001080048??0，解得x?15． ，令y??0，即22xx当x?15时，y??0；当0?x?15时，y??0， 因此，当x?15时，y取得最小值，ymin?2000元． 【答】 为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层． 【点评】这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．
【典型题剖析及训练】
【例1】已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2。
（Ⅰ）求实数b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个．．．t∈[m，骣1M]，直线y＝t与曲线y=f(x)琪＃xe 都有公共点？若存在，求出
e桫最小的实数 m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
【解析】（Ⅰ）b＝2； （Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1）， a＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）； （Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。 【例2】已知函数f(x)?alnx?bx2图象上一点P?2,f?2?? 处的切线方程为
y??3x?2ln2?2。
（1）求a、b的值
（2）设g(x)?x2?2x，求证：对于任意的x??0,???，有f(x)?g(x) ?1?（3）若方程f(x)?m?0在?,e? 上有两个不等实根，求m的取值范围（其?e?中e为自然对数的底数） 【解】（1）由已知：f?(x)?aa? ?2bx，所以f(2)??4b。易知 f(2)?aln2?4b。x2所以函数f(x)?alnx?bx2的图象在点P?2,f?2?? 处的切线方程为：?a??a?y??aln2?4b????4b?(x?2)，即y???4b?x?a?4b?aln2。 ?2??2??a?4b??3?a?2。 由题意得：????2?b?1??a?4b?aln2?2ln2?2? （2）由（1）知：f(x)?2lnx?x2。令F(x)?f(x)?g(x)x??0,???， 则F(x)?2lnx?2x2?2xx??0,???，所以F?(x)? 令F?(x)?0，得：x?1。 当x??0,1?时，F?(x)?0，F(x)递增； 当x??1,???时，F?(x)?0，F(x)递减。 所以当x?1时，函数F(x)取得最大值，且F(x)max?F(1)?0。 故对?x??0,???，都有：F(x)?0，即f(x)?g(x)。 2?4x?2， x?1? （3）记h(x)?f(x)?m?2lnx?x?mx??,e?， ?e?2则h?(x)?22(1?x)(1?x)，令h?(x)?0，得：x?1。 ?2x?xx1?时，?当x?? h(x)?0，h(x)递增；当x??1,e?时，h?(x)?0，h(x)递减。,1???e?为使方程f(x)?m?0在??1?,e? 上有两个不等实根， ?e?1?1h()??2??m?02?ee?1则有：?h(1)??1?m?0?1?m?2?2。 e?2?h(e)?2?e?m?0?1??所以实数m的取值范围是?1,2?2?。 e???1?【另解】方程f(x)?m?0在?,e? 上有两个不等实根等价于 ?e?方程m??f(x)在??1?,e? 上有两个不等实根。 ?e?22(x?1)(x?1)?1?记h(x)??f(x)?x?2lnxx??,e?，则h?(x)?， x?e?令h?(x)?0，得：x?1。当x???1?,1?时，h?(x)?0，h(x)递减； ?e?当x??1,e?时，h?(x)?0，h(x)递增。所以h(x)min?h(x)?1， 11122h(e)?e?2又 h()?2?2，，显然e?2?2?2，根据h(x)的图象， eee为使方程m??f(x)在?
1?1?,e? 上有两个不等实根，则有：1?m?2?2 e?e?a【例3】设函数f(x)?lnx，g(x)?，F(x)?f(x)?g(x)。
x （1）求函数F(x)的单调区间；
（2）若函数 y?F(x)(0?x?3)图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率
1k?恒成立，求实数a的取值范围；
2 （3）若方程f(x)?mx在区间[1,e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围；
?2a? （4）是否存在实数t，使得函数y?f(x?1)的图象与函数y?g?2??t?1?x?1?2的图象恰好有4个不同的交点？若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由。
【解】（1）当a?0时，F(x)的的递增区间为(0,??)； 当a?0时，F(x)的递减区间为(0,a)，递增区间为(a,??) （2）F?(x)?1a11a??恒成立， ?2，由已知：对?x0?(0,3]，2x0x02xx12即a??x0?x0对?x0?(0,3]恒成立。 2当x0?(0,3]时，?x02?x0在x0?1时取得最大值，所以a? （3）方程f(x)?mx在区间[1,e2]上有唯一实数解等价于 方程m?12121。 2lnx在区间[1,e2]上有唯一实数解。 xlnx1?lnx2记h(x)?， 令h?(x)?0，得：x?e， x?[1,e]，则h?(x)?2xx当x?[1,e]时，h?(x)?0，h(x)递增； 当x?[e,e2]时，h?(x)?0，h(x)递减。所以h(x)max?h(e)?。 1e2易求得：h(1)?0，h(e)?2。 e2 为使方程m?lnx在区间[1,e2]上有唯一实数解， xlnx则直线y?m与函数y?h(x)?的图象有唯一交点， x根据h(x)的图象可知：m? 或 0?m?1e2。 2e2??1??故m的取值范围是?0,2????。 e??e??121?2a?2（4）设G(x)?f(x?1)?g?2??t?1，则G(x)?ln(x?1)?x??t， ?x?1?222 G?(x)?2xx(x?1)(x?1)，令G?(x)?0，得： ?x??22x?1x?1 x1??1，x2?0，x3?1。 列表如下： x G?(x) (??,?1) + -1 0 极大值 (?1,0) - 0 0 极小值 (0,1) + 1 0 极大值 (1,??) — G(x) ? ? ? ?