延长PM
交直线x??1,
由抛物线的定义可知
PN?PM?1?PF,当,三点A,P,F共线时,|PA|?|PF|最小,此时为|PA|?|PF|?AF,又
焦点坐标为F(1,0),所以AF?2(4?1)2?a2?9?a2,即PM?1?PA的最小值为a2?9,所
以PM?PA的最小值为a?9?1.
三、解答题
18．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）
y2已知F1,F2分别为椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的上下焦点,其F1是抛物线C2:x2?4y的焦点,点M
ba是C1与C2在第二象限的交点,且|MF2|=
x23. 5
(1)试求椭圆C1的方程;
(2)与圆x?(y?1)?1相切的直线l:y?k(x?t)(t?0)交椭圆于A,B两点,若椭圆上一点P满足
22????????????OA?OB??OP,求实数?的取值范围.
【答案】
19．（2012年山东理）(21)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点,M是抛物
线C上
位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线 的距离为3.
4(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标; 若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点M的横坐标为2,直线l:y?kx?1与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与
4圆Q有两个不同的交点D,E,求当1?k?2时,|AB|2?|DE|2的最小值.
2
【答案】(21)解:
(Ⅰ)依题线段OF为圆Q的弦,由垂径定理知圆心Q的纵坐标yQ?又Q到抛物线准线y??所以x2?2y为所求.
p, 4pppp的距离为yQ????3,所以p?1. 2242422x0(Ⅱ)假设存在点M(x0,),又F(0,1),设Q(xQ,1).x2?2y变形为y?x?y'?x
24222x0?1x因为直线MQ为抛物线的切线,故kMQ?24?y'|x?x0?x0,解得xQ?0?1,
24x0x0?xQx即Q(0?1,1).
24x042x0x0?1又取FM中点N(,),由垂径定理知FM?QN,
2422?????????x0?1x01所以FM?QN?(x0,,)?0?x0?2,所以存在M(2,1). )?(?4x042??(Ⅲ)依题M(2,1),圆心Q(52,1),圆Q的半径r?|OQ|??52??(1)2?27, 43284?8?2|52k|52k, 圆心Q到直线y?kx?1的距离为d?8?41?k281?k2所以,|DE|2?4(r2?d2)?4?27??25k2??27?2k2.
2?2?3232(1?k)?8(1?k)2??x?2y?x2?2kx?1?0, 又联立?1y?kx?2??4??x1?x2?2k设A(x1,y1),B(x2,y2),则有,?1. xx????122所以,|AB|2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?k2)(4k2?2). 于是,
2429?25?1|AB|2?|DE|2?(1?k2)(4k2?2)?2k?27(1?k?2) 2?4k?6k?2481?k28(1?k)记f(x)?4x2?6x?9?25?1(1?x?4),
481?x4f'(x)?8x?6?25?12?6?25?0,所以f(x)在[1,4]上单增,
48(1?x)8442所以当x?1,f(x)取得最小值fmin(x)?f(1)?13, 所以当k?1时,|AB|2?|DE|2取得最小值13.
2220．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线
y2?2px(p?0)上相异两点,Q、P到y轴的距离的积为4且OP?OQ?0.
(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
【答案】解:(1)∵ OP·OQ=0,则x1x2+y1y2=0,
→→2
又P、Q在抛物线上,故y1=2px1,y2=2px2,故得
2
y1y22
· +y1y2=0, y1y2=-4p2p2p
2
2
(y1y2)22 ?|x1x2|??4p2 4p又|x1x2|=4,故得4p=4,p=1. 所以抛物线的方程为: y?2x
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a 联立方程组?2
2
2?x?my?a 2y?2x?消去x得y-2my-2a=0 ∴ ??y1?y2?2m?y1y2??2a ①