【答案】解:(I)由x2?4y得y?1x2,?y??1x.∴直线l的斜率为y?|x?2?1,
42故l的方程为y?x?1,∴点A坐标为(1,0)
设M(x,y) 则AB?(1,0),BM?(x?2,y),AM?(x?1,y), 由AB?BM?2|AM|?0得 (x?2)?y?0?2整理,得x?y2?1.
2?(x?1)2?y2?0.
2∴点M的轨迹为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为22,短轴长为2的椭圆 (II)如图,由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=k(x-2)(k≠0)①
x2?y2?1,整理,得 将①代入2(2k2?1)x2?8k2?x?(8k2?2)?0,
由△>0得0 2 1. 设E(x1,y1),F(x2,y2) 2 ?8k2x?x2?,则??12k2?1 ② 令??2?xx?8k?2.12?2k2?1??S?OBE|BE|,由此可得 ,则??S?OBF|BF|BE???BF,??x1?2,且0???1. x2?2?4, 22k?1由②知(x1?2)?(x2?2)?（x1?2)?(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4??22k?12. ?2k2?14?12?,即k??(1??)28(1??)22 解得3?22???3?22. ?0?k2?14?11,?0???,22(1??)22又?0???1, ?3?22???1.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-22,1) 24．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的 离心率为 12 ,其中一个顶点是抛物线x=?43y的焦点. 2(I)求椭圆C的标准方程; ?5???????(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B满足PA·PB?,若存在,求出直 4线l的方程;若不存在,请说明埋由 x2y2【答案】解:(1)设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0),由题意得 abb?3,由 c1?得a?2,c?1 a2x2y2??1. 故椭圆C的标准方程为43(2)若存在过点P(2,1)的直线l满足条件,则l的斜率存在 25．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））如图,直线l :y=x+b 与抛物线C :x=4y相切于点A. 2 (1) 求实数b的值; (11) 求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程. ?y?x?b【答案】(I)由?2得x2?4x?4b?0 (?) ?x?4y因为直线l与抛物线C相切,所以??(?4)2?4?(?4,解得b)?0b??1 (II)由(I)可知b??1,故方程(?)即为x2?4x?4?0,解得x?2, 将其代入x2?4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x?2)2?(y?1)2?4 26．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知抛物线x2?2py上点(2,2)处的 x2y2切线经过椭圆E:2?2?1(a?b?0)的两个顶点. ab(1)求椭圆E的方程; (2)过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为?4的直线与该椭圆交于B,C两点,是否存在一点D,使得直线BC恒过该点?若存在,请求出定点D的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若?ABC的重心为G,当边BC的端点在椭圆E上运动时,求 |GA|2?|GB|2?|GC|2的取值范围. 【答案】