设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x3,y3), 同理可知,
?y1?y3?2n??y1y3??2b由①、②可得
②
y3b? y2a由题意,Q为线段RT的中点,∴ y3=2y2,∴b=2a分 又由(Ⅰ)知, y1y2=-4,代入①,可得 -2a=-4 ∴ a=2.故b=4 ∴y1y3??8
∴|PR|?1?n|y1?y3|?1?n?(y1?y3)?4y1y3
222?21?n2?n2?8?42.
当n=0,即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值42
21．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知定点A(p,0)(p为常数,p>O),B为z轴负半2轴七的一个动点,动点M使得AM?AB,且线段BM的中点在y轴上
(I)求动点脚的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点 T(4,0),当p=2时,求EF的最大值.
【答案】
22．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知抛物线y2?4x的焦点为F2,
点F1与F2关于坐标原点对称,直线m垂直于x轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P,Q且
?????????F1P?F2Q??5.
(I)求点T的横坐标x0;
(II)若以F1,F2为焦点的椭圆C过点?1,①求椭圆C的标准方程;
???2?. ??2?
????????????????②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,设F2A??F2B,若????2,?1?,求TA?TB的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意得F2(1,0),F1(?1,0),设P(x0,y0),Q(x0,?y0),
则F,y0),F2Q?(x0?1,?y0). 1P?(x0?1
2222由F1P?F2Q??5,得x0?1?y0??5即x0?y0??4,① 又P(x0,y0)在抛物线上,则y0?4x0,② 联立①、②易得x0?2
(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为c,由题意得c?1,
2x2y2设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0),
ab11则2?2?1 ③ ab2a2?b2?1 ④
2将④代入③,解得b?1或b??21(舍去) 2所以a?b?1?2
22x2?y2?1 故椭圆C的标准方程为2(ⅱ)方法一:
容易验证直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x?ky?1
x2?y2?1中得:(k2?2)y2?2ky?1?0 将直线l的方程代入2设A(x1,y1),B(x2,y2),y1?0且y2?0,则由根与系数的关系, 可得:y1?y2??2k ⑤ 2k?2y1y2??1 ⑥ k2?2因为F2A??F2B,所以
y1??,且??0. y2将⑤式平方除以⑥式,得:
y1y24k214k2 ??2??2????2??2y2y1k?2?k?2511114k2?0由????2,?1?????+??2??????2?0????22?2?2k?2
所以 0?k?2????????????因为TA?(x1?2,y1),TB?(x2?2,y2),所以TA?TB?(x1?x2?4,y1?y2),
2k4(k2?1)又y1?y2??2,所以x1?x2?4?k(y1?y2)?2??, 2k?2k?22 7??????216(k2?1)24k222故|TA?TB|?(x1?x2?4)?(y1?y2)? ?(k2?2)2(k2?2)216(k2?2)2?28(k2?2)?8288, ??16??22222(k?2)k?2(k?2)127117120?k???t?[,], ,所以 所以,即
k2?2716k2?22162??????272172所以|TA?TB|?f(t)?8t?28t?16?8(t?)?.
4271169]. 而t?[,],所以f(t)?[4,16232令t???????132所以|TA?TB|?[2,]
8方法二:
【D】1．)当直线l的斜率不存在时,即???1时,A(1,22),B(1,?), 22??????22)?(?1,?)?2 又T(2,0),所以TA?TB?(?1,22【D】2．)当直线l的斜率存在时,即????2,?1?时,设直线l的方程为y?k(x?1)
?y?kx?k?2222由?x2得(1?2k)x?4kx?2k?2?0 2??y?1?2设A?x1,y1?,B?x2,y2?,显然y1?0,y2?0,则由根与系数的关系,
4k22k2?2可得:x1?x2?,x1?x2? 221?2k1?2ky1?y2?k(x1?x2)?2k?2?2k ⑤
1?2k2?k2y1?y2?k(x1x2?(x1?x2)?1)? ⑥
1?2k2
因为F2A??F2B,所以
y1??,且??0. y2将⑤式平方除以⑥式得:
??1??2??4
1?2k2由????2,?1?得??故?1?5??1????,?2?即???2???,0? ??2???2?11?472??0k?,解得 221?2k2??????因为TA?(x1?2,y1),TB?(x2?2,y2),
??????所以TA?TB?(x1?x2?4,y1?y2),
?4(1?k2)又x1?x2?4?,
1?2k216(1?k2)24k2故TA?TB?(x1?x2?4)?(y1?y2)? ?(1?2k2)2(1?2k2)22224(1?2k2)2?10(1?2k2)?2102 ??4??22222(1?2k)1?2k(1?2k)
令t?1711?1?2k?0??,因为 所以,即t??0,?,
1?2k221?2k28?8???????25217?169?2所以TA?TB?2t?10t?4?2(t?)?. ??4,?22?32??132?所以TA?TB??2,? ?8????????132综上所述:|TA?TB|?[2,]
82x?4y相切于23．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,已知直线l与抛物线
点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0). (I) 若动点M满足AB?BM?2|AM|?0,求点M的轨迹C;
(II)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求
△OBE与△OBF面积之比的取值范围.