P?X?Y?6??P?X?Y?E(X?Y)?6??
(5)【答案】F；(10,5)
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D(X?Y)31??
623612X【所用概念】1. F分布的定义：F?n1n2Y 其中X~?2(n1) Y~?2( n2)2.
若Z1,?,Zn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则?Zi2~?2(n) ?分布的定义：
2i?1n3. 正态分布标准化的定义：若Z~N(u,?2)，则
Z?u?~N(0,1)
Xi?0Xi??N(0,1)，从而根222【详解】因为Xi?N(0,22)i?1,2,?,15，将其标准化有据卡方分布的定义
?X10??X15??X1??X11?22?????(10),?????(5), ?????????2??2??2??2??X??X??X??X?由样本的独立性可知，?1?????10?与?11?????15?相互独立.
?2??2??2??2?故，根据F分布的定义
2??X1?2?X10???????????22????????222222222Y?10??X11??X15???????????22????????52X12???X10??F(10,5). 222?X11???X15?故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布.
二、选择题
(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由limx?af'(x)??1,知 x?ax?alimf'(x)?limx?af'(x)f'(x)??x?a??lim?lim?x?a???1?0?0
x?ax?ax?ax?a又函数f(x)的导数在x?a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以f?(a)?0，于是有
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6
f\a)?limx?a启航考研 只为一次考上研
f'(x)?f'(a)f'(x)?lim??1, x?ax?ax?a即f?(a)?0，f??(a)??1?0，根据判定极值的第二充分条件：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f?(x0)?0，f??(x0)?0，当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极大值. 知x?a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由limx?af'(x)??1,及极限保号性定理：如果limf?x??A，且A?0(或A?0)，
x?x0x?a那么存在常数??0，使得当0?x?x0??时，有f?x??0(或f?x??0)，知存在
x?a的去心邻域，在此去心邻域内
f'(x)?0.于是推知，在此去心邻域内当x?a时x?af?(x)?0；当x?a时f?(x)?0.又由条件知f(x)在x?a处连续，由判定极值的第
一充分条件：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心?领域内可导，若
x??x0??,?x0?时，f?(x)?0，而x??x0,?x0???时，f?(x)?0，则f(x)在x0处取
得极大值，知f(a)为f(x)的极大值. 因此，选 (B).
(2)【答案】(D)
【详解】应先写出g(x)的表达式.
12(x?1)，有 2x1x13x1x1312?(u?1)du?u?u0?x?x, g(x)??f?u?du?020602621当1?x?2时， f(x)?(x?1)，有
311x1x1x2g(x)??f(u)du??f(u)du??f(u)du??(u?1)du??(u?1)du
02130011311112x1x212?u?u0?u?u1???x?1? 60261336当0?x?1时， f(x)??131x?x,??62即 g(x)???2?1?x?1?2,??36因为 limg(x)?lim???x?1x?10?x?1
1?x?222??131?2?21x?x??，limg(x)?lim?x?1????， ???x?1x?12?3?6?36?3天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 7
且 g(1)?启航考研 只为一次考上研
2122??1?1??， 363所以由函数连续的定义，知g(x)在点x?1处连续，所以g(x)在区间[0,2]内连续，选(D).
131??121?同样，可以验证(A)、(B)不正确，0?x?1时，g?(x)??x?x??x??0，单
2?22?6?1212??调增，所以(B)递减错；同理可以验证当1?x?2时，g?(x)????x?1????x?1??0，
?36?3单调增，所以g?0??g?x??g?2?，即0?g?x??
(3)【答案】 (C)
【详解】由所给矩阵A,B观察，将A的2,3列互换，再将A的1,4列互换，可得B. 根据初等矩阵变换的性质，知将A的2,3列互换相当于在矩阵A的右侧乘以E23，将A的1,4列互换相当于在矩阵A的右侧乘以E14，即
5与选项(A)无界矛盾. 6?1?0AE23E14?B，其中E23???0??0001001000??0?00??，E14???00???1??1010000101?0?? 0??0?由题设条件知P1?E14,P2?E23，因此B?AP2P1.
?1?1?1由于对初等矩阵Eij有，Eij?P,P?Eij，故P112?P2.
因此，由B?AP2P1，及逆矩阵的运算规律，有
?1?1?1?1B?1??AP2P?P?PP1?1P2A12A.
?1
(4)【答案】 (D)
【详解】由题设，A是n 阶矩阵，?是n维列向量，即?是一维行向量，可知?T?AT?????是
0??An?1阶矩阵. 显然有秩?T?????A(A)?n?n?1,秩 即系数矩阵???T0?????由?非列满秩，
0?齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组
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?A?T??启航考研 只为一次考上研
???X?????0必有非零解. 0??y?
(5) 【答案】A
【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X?Y?n，从而Y?n?X， 故 DY?D(n?X)?DX
由方差的定义：DX?EX2?(EX)2， 所以
DY?D(n?X)?E(n?X)2??E(n?X)??E(n2?2nX?X2)?(n?EX)2
2?n2?2nEX?EX2?n2?2nEX?(EX)2?EX2?(EX)2?DX)
由协方差的性质：cov(X,c)?0 (c为常数)；cov(aX,bY)?abcov(X,Y)
cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y))
所以 cov(X,Y)?cov(X,n?X)?cov(X,n)?cov(X,X)?0?DX??DX 由相关系数的定义，得 ?(X,Y)?
三【变限积分求导公式】[cov(X,Y)?DXDY?DX??1
DXDX?f(x)ag(t)dt]?x?g[f(x)]f?(x)
【详解】 根据复合函数求导公式，有
du?f?fdy?fdz?????. (*) dx?x?ydx?zdx在exy?xy?2两边分别对x求导，得
exy(y?x即
dydy)?(y?x)?0, dxdxdyy??. dxxx?zsintxdt两边分别对x求导，得 在e??0tsin(x?z)dzdzex(x?z)e??(1?), 即?1?.
x?zdxdxsin(x?z)x将其代入(*)式，得
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四 【详解】因为lim(1?)?e
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ex(x?z)??fdu?f?fdy?fdz?fy?f????1????????.
dx?x?ydx?zdx?xx?y?sin(x?z)??z1xxlim(x??x?cxx?c?2cx)?lim() (把x?c写成x?c?2c)
x??x?cx?c2cxx?c?2cx2?cc?xx?c2cx?c?lim() (把x写成2c?x?c) x??x?c?2c?lim?(1?)x??x?c??limex??x?c2c???2cxx?c (利用幂函数的性质amn?(am)n)
2cxx?c?2c2c?x?c?ln(1?)?x?c???? (利用对数性质elnf(x)?f(x))
?limex??x?c2cx?2c2c?ln?(1?)?x?c?x?c??? (利用对数性质lnf(x)g(x)?g(x)lnf(x))
?ex?c2cx?2c2c?limln?(1?)?x??x?c?x?c??? (利用y?ex函数的连续性，limex??f(x)?ex??limf(x))
?ex??x?c?2cx2c2c??lim?limln(1?)?x??x?cx???x?c???(当各部分极限均存在时，
x??limf(x)?g(x)?limf(x)?limg(x))
x??x?c?2cx2c2c??lim?lnlim(1?)?x??x?cx???x?c????elim[lnf(x)]?ln[limf(x)]) (利用y?lnx函数的连续性，
x??x??1?e2c?lne (利用lim(1?)x?e)
x??x?e2c (lne?1)
又因为f(x)在???,???内可导，故在闭区间[x?1,x]上连续，在开区间(x?1,x)内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有
f(x)?f(x?1)?f?(?)[x?(x?1)]?f?(?),x?1???x
左右两边同时求极限，于是
lim[f(x)?f(x?1)]?limf'(?)?e，
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