因为x?1???x，x趋于无穷大时，?也趋向于无穷大
由题意，lim(x??启航考研 只为一次考上研
x?cx1)?lim[f(x)?f(x?1)], 从而e2c?e，故c?
x??x?c2
五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成
?1?y?1,y?x?1
??y[1?xeD122(x?y)2]dxdy???ydxdy???xyeDD122(x?y)2dxdy,
其中，
1112ydxdy?dyydx?y(1?y)dy??; ??????1y?13D??xyeD1?1122(x?y)2dxdy??ydy?xe?1y11122(x?y)2dx??ydy?e?1y11122(x?y)21d(x2) 2??ydy?ey1122(x?y)211(1?y2)21222?ey)dy d[(x?y)]??(e?12(1?y2)(1?y2)11111111y22y22222??(e?e)dy??edy??edy 2?12?12?11(1?y2)2??e?111(1?y2)111y221y2122?0 d[(1?y)]??edy?e?e?1?1222?11于是
??y[1?xeD122(x?y)22]dxdy??
3
六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，
2令y?px?qx?x(px?q)?0，求得它与x轴交点的横坐标为：x1?0,x2??q. p天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 11
根据定积分的定义，面积S为
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S???qp0q?1n?1pqq3?3n22?xdx?x?C) (注：ppx?qxdx?x?x??????2n?12?6p?30因直线x?y?5与抛物线y?px2?qx相切，故它们有唯一公共点. 由方程组
?x?y?5 ?2?y?px?qx求其公共解，消去y，得px2?(q?1)x?5?0，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即
??(q?1)2?4?p?(?5)?(q?1)2?20p?0,
解得 p??1(q?1)2. 20将p代入S中，得
q3q3200q3S(q)?2??. 416p6[?(q?1)2]23(q?1)20根据函数除法的求导公式，
(200q3)??[3(q?1)4]?[3(q?1)4]??(200q3)200q2(3?q)S?(q)? ?[3(q?1)4]23(q?1)5根据驻点的定义，令S?(q)?0，已知有q?0，得唯一驻点q?3.
当1?q?3时，S?(q)?0；q?3时，S?(q)?0. 故根据极值判定的第一充分条件知，q?3时，S(q)取唯一极大值，即最大值.
从而最大值为S?S(3)?225. 322方法2：设抛物线y?px?qx与直线x?y?5相切的切点坐标为(x0,y0)，切点既在抛物
2线上，也在直线上，于是满足方程有y0?px0?qx0和x0?y0?5.
抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在y?px?qx左右两边关于x求导，得y??2px?q，在x?y?5左右两边关于x求导，得y???1，
2天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 12
把切点坐标(x0,y0)代入，得
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y?x?x?2px0?q??1?x0??0q?1 2p2由x0?y0?5?y0?5?x0，将两结果代入y0?px0?qx0得
y0?5?x0?5?(?整理得
q?1q?12q?12)?px0?qx0?p(?)?q(?) 2p2p2pp??1(q?1)2. 20将p代入S中，得
200q3S(q)?. 43(q?1)根据函数除法的求导公式，
(200q3)??[3(q?1)4]?[3(q?1)4]??(200q3)200q2(3?q) S?(q)??[3(q?1)4]23(q?1)5根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令S?(q)?0，已知有q?0，得唯一驻点q?3.当1?q?3时，S?(q)?0;q?3时，S?(q)?0;故根据极值判定的第一充分条件知，q?3时， S(q)取唯一极大值，即最大值.
从而最大值为S?S(3)?
七【详解】将要证的等式中的?换成x，移项，并命
225. 32?(x)?f?(x)?x?1f(x) x问题转化为证在区间(0,1)内?(x)存在零点. 将
f?(x)?x?1f(x)?0 x看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由
df(x)x?1?dx f(x)x天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 13
两边积分得
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df(x)x?11?dx?(1?) ?f(x)?x?xdx利用
11n?1ndx?lnx?Cxdx?x?C，得 及?x?n?1CexCex， lnf(x)?x?lnx?C1?lnf(x)?ln?f(x)?xx即 xe?xf(x)?C，命F(x)?xe?xf(x). 由
f(1)?k?xe1?xf(x)dx,(k?1)
及积分中值定理(如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点?，使得
1k0?ba1f(x)dx?f(?)(b?a)(a???b))，知至少存在一点??(0,)?[0,1]，使
kf(1)?k?xe1?xf(x)dx??e1??f(?)
1k0且F(?)??e??f(?)，F(1)?e?1f(1). 把f(1)??e1??f(?)代入，则
F(1)?e?1f(1)?e?1?e1??f(?)??e??f(?)?F(?)
那么F(x)在[?,1]上连续，在(?,1)内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点??(?,1)?[0,1]，使得
F?(?)?e??f(?)??e??f?(?)?0
即 f?(?) ? (1???1)f(?).
八【详解】由已知条件可见fn?(x)?fn(x)?xn?1ex，这是以fn(x)为未知函数的一阶线性
非齐次微分方程，其中p(x)??1,q(x)?xn?1ex，代入通解公式
?p(x)dxp(x)dxf(x)?e?(?q(x)e?dx?C)
得其通解为
n?dx??n?1x??dxx?x?fn(x)?e??xeedx?C??e??C?,
???n?exnex?1?, 由条件fn(1)?,又fn(1)?e??C?，得C?0， 故fn(x)?nn?n?天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 14
?xnexxnxfn(x)???e? ?nn?1n?1n?1n??启航考研 只为一次考上研
记S(x)?an?11xa?则，??lim,n?n??ann?1nn?n11则其收敛半径为R??1，?limn?1?1，
n??1?n收敛区间为(?1,1). 当x?(?1,1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，
??xn????xn???n?111?1?x?x2???xn?? ，其中S?(x)??????????x?1?x1?x?n?1n?n?1?n?n?1故根据函数积分和求导的关系f?(x)dx?f(x)?C，得
??x0S?(x)dx?S(x)0?S(x)?S(0)
x0n002又由于S(0)???????0，所以
12n?1n?S(x)?S(0)??S?(x)dx?0??0x1dx??ln(1?x)， 01?xxxn即有 ???ln(1?x),x?(?1,1)
nn?1?(?1)n当x??1时， ???ln2. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的
nn?1?范围可扩大到x??1处，即
xn??ln(1?x),x?[?1,1) ?nn?1?于是
?fn?1?n(x)??exln(1?x),x?[?1,1)
九【详解】(1) 线性方程组AX??有解但不唯一，即有无穷多解?r(A)?r(A)?n?3，
将增广矩阵作初等行变换，得
1a?1??11a?1??1?2行?1行，?0a?11?a??
A??1a1?13行?1行(?a)倍0?????????????????????????????????2???a11??2???01?a1?a??2?a??1a?1??1?2行加到3行1?a?0????????????????0a?1? ??0?(a?1)(a?2)??（a?2）?0?天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn
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