(2) 由(1)，有
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因为方程组AX??有解但不唯一，所以r(A)?r(A)?3，故a=?2.
1?2??1? A??1?21???1???21?由
??1?E?A??12??12??2?12,3列加到1列???2?1 ?1??1??1??1?1211?1?1210?102?3
??3?11行?(?1)分别加到2,3行?0??3提出1列公因子?1??2??1??(??3)(??3)?0
故A的特征值为?1?0,?2??3,?3?3.
当?1?0时，
??1?12???1?12???1?12??1行的(?1),2倍?03?3?2行加到3行?03?3?
(0E?A)???12?1??分别加到2,3行?????????????????????????2?1?1???0?33???000??于是得方程组(0E?A)x?0的同解方程组为
?x1?x2?2x3?0 ?3x?3x?03?2可见，r(0E?A)?2，可知基础解系的个数为n?r(0E?A)?3?2?1，故有1个自由未知量，选x2为自由未知量，取x2?1，解得对应的特征向量为?1?(1,1,1)T.
当?1?3时，
?2?12???15?1???2?12? ?15?11,2行互换?3E?A????????????????????2?12?????2?12??天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 16
??15?1???15?1???行?2加到2行?090? 3行-2行???????????2?12?1??????????????????????000???000??于是得方程组(3E?A)x?0的同解方程组为
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??x1?5x2?x3?0 ??9x2?0可见，r(3E?A)?2，可知基础解系的个数为n?r(3E?A)?3?2?1，故有1个自由未知量，选x1为自由未知量，取x1?1，解得对应的特征向量为?2?(1,0,?1)T.
当?1??3时，
??4?12???1?1?1?????1?1?11，2行互换?4?12??3E?A?????????????????? ?2?1?4??2?1?4???????1?1?1???1?1?1?1行(?4)倍,2倍????0362行加到3行036 ??????????????????分别加到2,3行?000????????????????????0?3?6?????于是得方程组(?3E?A)x?0的同解方程组为
??x1?x2?x3?0 ?3x?6x?03?2可见，r(?3E?A)?2，可知基础解系的个数为n?r(?3E?A)?3?2?1，故有1个自由未知量，选x2为自由未知量，取x2?2，解得对应的特征向量为?3?(?1,2,?1)T.
由于A是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将?1,?2,?3单位化，
?1??1??1??3??21??1??1???1?1?1,???0,????2?. 23??????1??32623?????1?1?????1??其中，?1?1?1?1?3,?2?1?(?1)?令
222222,?3?(?1)2?22?(?1)2?6 天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 17
????Q???1,?2,?3???????131313120?12?1??6?2? ?6??1?6??启航考研 只为一次考上研
?300???T?1则有 QAQ?QAQ?0?30.
????000??
十【详解】(1)由题设条件，
1f(x1,x2,?xn)???xixj?Ai?1j?1|A|1?AnnAij1Axx???ijijAi?1j?1nn?x?Axiiji?1j?1nnj
?x(Ax?Aii11i?1ni22x???Ainxn)
?x1??x1?????nx1n1??2????x2? ?x(A,A,?,A)x(A,A,?,A)?ii1i2?inii1i2in????A?Ai?1?i?1????????x?n??xn??x1???x2?1???x1(A11,A12,?,A1n)?x2(A21,A22,?,A2n)??xn(An1,An2,?,Ann)? ???A???xn??A11A12?A1n??x1??x1???AA?A??x??T?T?xA1A2n??2??2??XTX ?(x1,x2,?,xn)?2122?(x1,x2,?,xn)??????AAA?????????AA?Axnn??n??n1n2?xn?(?)XTA?1X
其中(?)的理由：A是可逆的实对称矩阵，故(A)?(A)?1?1TT?1?A?1，因此由实对称的定义
??1?
知，A也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质AA?AE，知A?AA，因此A也是实对称矩阵，A(2) 因为A?T??A?，故(?)成立.
AA?1??AT?E?A?1，所以由合同的定义知A与A?1合同.
?1???1T天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn 18
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由实对称矩阵A与B合同的充要条件：二次型xAx与xBx有相同的正、负惯性指数. 可知，g(X)?XTAX与f(X)有相同的正、负惯性指数，
故它们有相同的规范形.
十一【应用定理】(i) 期望的性质：E(X?Y)?EX?EY；独立随机变量方差的性质：若随机变量X和Y独立，则D(X?Y)?DX?DY
(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量X1,X2,?,Xn,?相互独立同分布，方差存在，记u与?2(0??2???)分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x，恒有
n?1?limP?(?Xi?nu)?x???(x) n????ni?1?(通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这
些随机变量的和以正态分布为极限分布)
(iii) 正态分布标准化：若Z~N(u,?2)，则
Z?u?~N(0,1)
【详解】设Xi(i?1,2,?n)是装运的第i箱的重量(单位:千克)， n是所求箱数. 由题设可以将X1,Xi,?Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Sn?X1?X2???Xn是独立同分布随机变量之和.
由题设，有E(Xi)?50,D(Xi)?5(单位:千克)
所以 E(Sn)?E(X1?X2???Xn)?EX1?EX2???EXn?50n
D(Sn)?D(X1?X2???Xn)?DX1?DX2???DXn?25n
则根据列维—林德柏格中心极限定理，知Sn近似服从正态分布N(50n,25n)，
箱数n根据下述条件确定
?S?50n5000?50n?P?Sn?5000??P?n?? (将Sn标准化)
5n??5n1000?10n??()?0.977??(2)
n由此得
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1000?10n?2, n从而n?98.0199， 即最多可以装98箱.
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十二【详解】由题设条件X和Y是正方形G??(x,y):1?x?3,1?y?3?上的均匀分布，则X和Y的联合密度为：
?11?,1?x?3,1?y?3, (二维均匀分布的概率密度为) f(x,y)??4面积??0,其他由分布函数的定义：F(u)?P?U?u??PX?Y?u
(1)当u?0时，F(u)?0(因为X?Y是非负的，所以小于0是不可能事件)
(2)当u?2时，F(u)?1(因为X和Y最大为3，X和Y最小为1，所以X?Y最大也就只能为2，所以X?Y?2是必然事件，概率为1)
(3)当0?u?2时，F(u)?P?U?u?相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：
??y 3 2 y?x?u y?x??u x?y?u F(u)?P?U?u??P?X?Y?u?
S12 ??阴影面积??4?(2?u)?S总面积4?1 O 1 2 3 1?1?(2?u)2
4x(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)
于是随机变量U的概率密度为：
?1?(2?u),0?u?2, p(u)?F'(u)??2??0, 其他
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