目 录
1引言 ............................................................................................................................................ 1 2线性赋范空间....................................................................................................................... 1
2.1预备知识............................................................................................................................. 2 2.2线性赋范空间的一些性质 ................................................................................................. 3
3线性有界泛函 ...................................................................................................................... 4
3.1线性有界泛函有关概念 ..................................................................................................... 4 3.2线性有界泛函与线性连续泛函 ......................................................................................... 6 3.3共轭空间............................................................................................................................. 8
4线性有界算子 .................................................................................................................... 11
4.1线性有界算子有关概念 ................................................................................................... 11 4.2线性有界算子与线性连续算子 ....................................................................................... 13 4.3线性有界算子空间 ........................................................................................................... 14
参考文献 ................................................................................................................................... 15 致 谢 ........................................................................................................................................... 16
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线性赋范空间泛函有界性研究
数学系本1104班 薛菊峰 指导教师： 何瑞强
摘 要：本文主要研究线性赋范空间泛函有界性。从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的概念；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出相关泛函理论的推导及应用；最后，将线性有界泛函理论推广到线性有界算子空间。
关键词：线性赋范空间，线性有界泛函，线性连续泛函，线性有界算子。
The Study of the Functional Boundedness in Linear Normed Space
Xue JuFeng
Class 1104, Mathematics Department
Tutor: He RuiQiang
Abstract: This paper mainly studies the functional boundedness in linear normed space. Carries on the discussion from three aspects: First of all, this paper expounds the linear normed space functional boundedness, functional continuity and related concepts; Then, researching the relationship of the linear normed space functional boundedness and continuity, giving derivation and application of the relevant functional theory according to the equivalence of them; Finally, the bounded linear functional theory are generalized to space of bounded linear operator .
Keywords: linear normed space, bounded linear functional, linear continuous functionals , bounded linear operator.
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1引言
有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在《线性赋范空间中几个概念的探讨》证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在《关于泛函分析中定理的推广》对于赋范空间X和Y，从X到Y的全体线性有界算子B?X,Y?关于算子范数亦成为赋范空间，且知当Y是完备空间时，B?X,Y?也是完备的。在更广泛的空间类-赋准P范数空间中，推广了上述的结果；李晓爱在《线性赋范空间上泛函列的一致连续性定理》定义了在线性赋范空间X上泛函序列?fn?强一致连续，弱一致连续和一致收敛的概念，得出了泛函序列?fn?强一致连续必弱一致连续；并证明了定义在线性赋范空间X上的泛函序列?fn?弱一致连续且又是一致收敛序列时，在X上必强一致连续；定义在线性赋范空间X的有界子集D上的强一致连续泛函序列?fn?，若满足fn?f?0?n???，则序列是一致收敛的。但总的说来讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对线性赋范空间泛函有界性进行阐述。
本文主要探讨了线性赋范空间泛函有界性的一些性质以及泛函有界性在相关泛函理论方面的推导，全文共分为四个部分。第1章介绍了线性赋范空间泛函有界性问题提出的背景，以及本论文所要研究的主要内容；第2章阐述了线性赋范空间泛函有界性概念以及其它与有界性相关的性质；第3章研究了线性赋范空间泛函有界性与泛函连续性之间的等价关系，并给出相关的例题进行两者之间的等价变换；第4章讨论线性赋范空间泛函有界性推广到线性有界算子空间的结论。
2线性赋范空间
在距离空间中我们引入了点列的极限，点列的极限是微积分学中数列极限在抽象空间中的推广，但是只有距离结构没有代数结构的空间在应用时受到许多的限制。事实上，应用最多的空间如lp、Rn、C?a,b?等等。这些空间中的元素不
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仅可以定义距离还可以定义某些代数运算，本部分主要介绍线性赋范空间，它较距离空间有明显的优越性。 2.1预备知识
命题2.1.1 线性赋范空间：如果X是实数域（或复数域）K上的线性空间，在X上定义映射：X?R1：x??,如果?x,y?X,??K，满足以下三条： ?1?正定性：x?0,x?0?x?0
?2?正齐性：?x??x
?3?三角不等式：x?y?x?y
那么我们称x为x的范数，称?x,??为线性赋范空间，简记为X。一般我们称定义中的条件?1?、?2?、?3?为范数公理。
???p 例1：l??xx??x1,x2,?,xn??xi????是线性赋范空间。
i?1??p分析 ：?x,y?lp,x??x1,x2,?,xn,??,y??y1,y2,?yn,??,??K 加法：x?y??x1?y1,x2?y2,?? 数乘：?x???x1,?x2?,?xn?? 从而lp 是线性空间。
?p?定义x???xi??i?1??1p满足范数公理。
故：lp是线性赋范空间。
例2：C??a,b?在通常加法，数乘意义下构成线性空间，在C??a,b?上定义范数x?maxx?t?，可以验证x?maxx?t?满足范数公理，所以C??a,b?是线性赋范
t???a,b?t???a,b?空间。
例3：设Lp??a,b?上p方L可积函数的全体，其中几乎处处相?a,b??p?1?为?等的函数视为同一函数，几乎处处为零的函数看作零元。对通常的加法、数乘
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在L?L??a,b??p?1?构成线性空间，?a,b??p?1?中定义范数：x?pp??bax?t?dtp?1p容易验证x是范数，故Lp??a,b??p?1?是线性赋范空间。
引理2.1.1 线性赋范空间中的极限：依范数收敛等价于依距离收敛。若X是线性赋范空间，?xn?是X中的点列，x?X,若 limxn?x?0就称?xn?依范数收
n??敛于x。（简称?xn?收敛于x），记为 limxn?x或xn?x?n???.
n??2.2线性赋范空间的一些性质
引理2.2.1 如果X是线性赋范空间，?xn?、?yn??X
?1?有界性：如果xn?x?n???.则?xn?有界。
?2?线性运算的连续性：如果xn?x,yn?y?n???
则xn?yn?x?y,?xn??x?n???.其中?为常数。
x是x的连续函数。
?3?范数的连续性：范数
证明：(1)因为：xn=xn?x?x?xn?x?x,xn?x?0?n???,取??1由
xn?x?0?n???,故?N,当n?N时有xn?x?1，所以：当n?N时有
xn?x?1取M?max?x1,x2,?,xN,x?1?,对每个n,有d?xn,???xn?M,即?xn?有界。
?2?由于：xn?x,yn?y?n???，则我们就有：limxn?x?0
n??limyn?y?0.从而有： limxn?yn?x?y,等价于xn?yn?x?y?n???.
n??n??lim?xn??x??limxn?x?0,‖等价于?xn??x?n???.
n??n??定理2.2.1 如果X是线性赋范空间，d是由范数导致的距离，那么
?x,y,z??k,有 0?X,
?1?平移不变性：d?x?z0,y?z0??d?x,y?. ?2?绝对齐次性：d??x,?y???d?x,y?.
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