Banach空间。
证明：设?fn?是X?的基本列，要证?fn?收敛于f?X?，由基本列的定义可知，???0,?N,当m,n?N时，有fm?fn??，于是 ?x?X,有
fm?x??fn?x??fm?fnx??x （1）
由此可知?fn?是R1中的基本列，由R1的完备性知：?fn?在R1中收敛，设
fn?x?=f?x?, x?X,可以验证f?x?是线性有界泛函。
f??x??y??limfn??x??y???limfn?x???limfn?y???f?x???f?y?.
n??n??n??取N1，当m?n?N1时，fm?fn?1则fm?fn?1,?x?X有fm?x??fmx
??fn?1?x，让n?N固定，令m??, 有f?x???fn?1?x，这就证明了f是
X上的线性有界泛函即f?X?。
下面证明：?fn?依范数收敛于f?x?，在（1）式中令m??, ，n?N固定得：f?x??fn?x???x ，由范数定义可知：当n?N时，f?fn??即
fn?f?n???。
命题3.3.2 几个具体空间上的的共轭空间： ?1?实n维欧氏空间Rn的共轭空间是Rn自身。 ?2?lp的共轭空间为lq（1?p???,11。 ??1，p、q互为共轭指数）
pq
?11????1 ?3?LP?a,b?（1?P??? ）的共轭空间是Lq?a,b???pq?。
?? ?4?C?a，b?。 b? 的共轭空间是V0?a， 定理3.3.2 Hahn-Banach（延拓定理）：如果X是线性赋范空间，G是X的线性子空间，f是G上的任一线性有界泛函，那么可以作出 X上线性有界泛函
F，满足：?1?当x?G时，F?x??f?x?
?2?FX?fG
9
其中FX表示F作为X上的线性泛函的范数，fG表示G上线性泛函的范数。
特别指出：泛恩-巴拿赫定理既保证了最小范数延拓的存在性又指出了这个 最佳延拓的范数就是f的范数
推论3.3.1 有界线性泛函足够多定理：如果X是一线性赋范空间，对任何，
x0?X，x0?0，那么必存在X上的线性连续泛函f满足：
?1?f?x0??x0 ?2?f?1
tx0t?k?，则G是由x0张成的子空间，其中x0?X，x0?0，证明：若G??那么在G上定义泛函如下：??x??tx0 ， x?tx0?G，显然有??x0??x0，
??x??tx0?tx0?x， ?x?tx0?G，从而有：?G?1，根据定理3.3.2，可
X以把G上的线性有界泛函??x?延拓到X上得到f，且有f??G?1。
推论3.3.2 如果X是线性赋范空间，G是X上的子空间，x0?X,d?x0,G??
infx0?y?d?0, 那么必存在X上的有界线性泛函f，满足：
y?G ?1? ?x?G,f?x??0. ?2? f?x0??d. ?3? f?1.
证明：设G1?span?G,x0?，由于x0?G，故G1中的元素y可唯一地表示为
y?x?tx0, x?G。在G1上作泛函?，??y????x?tx0??td,??，??R1
?x1,y1?G,???x1??y1?????x??tx0??x??tx0?????????x??????tx0?
??????td??td??td????x1?????y1?，因此??x?是线性泛函且
??x0????0?1?x0??1?d?d。?x?G,??x????x?0?x0??0，?y?x?tx0?G1
??1??x?G,t?R1。因为y?x?tx0?t?x??0??t?x???td，
????
10
??y????x?tx0??td?td?y.于是??x?是有界的，且?G1?1
另一方面：由d的定义，则可取一列?xn??G,使d?limxn?x0于是有：
n????xn?x????xn????x0?????x0??d??d??G1G1xn?x0，当n?? 时，有
d，从而有?G1?1，所以?G1?1，由Hahn-Banach定理，把泛函?延
拓到全空间X得f，则f满足： ?1? ?x?G,f?x????x??0,； ?2?f?x0????x0??d. ?3?fX??G1?1.
命题3.3.3 延拓定理的两点应用：
?1?Ries定理：若f??C?0,1??,那么存在唯一的g?V0?0,1?,使 ?x?C?a,b?,有z?f?x???x?t?dg?t?，且有f?V01?g?。
01 ?2?推广的刘维尔定理：如果X是复的巴拿赫空间，x:C?X是有界整函数，那么 ：?z?C,x?z?为常数。
证明：由于x:C?X是有界的，那么?z?C有f?x?z???fx?z??fM，所以f?x?是有界的整函数，由刘维尔定理可知： ?z0?C,?z?C,有
f?x?z???f?x?z0??，即f?x?z??x?z0???0.由定理3.3.2可知：x?z??x?z0??0即x?z??x?z0?。
4线性有界算子
4.1线性有界算子有关概念
命题4.1.1 算子：若X1，X2是同一数域K上的两个线性赋范空间，D?X1为某一子集，若存在一种对应的法则T，使对任何x?D有唯一的y?Tx?X2与之对应，那么就称T是X1中D到X2的算子。（或者称为映射）
命题4.1.2 线性算子：如果X1，X2是同一数域K上的两个线性赋范空间，D
11
是X1的线性子空间，设T:D?X2，若对于任何X1，X2?D，?,??K，有
T??x1??x2???T?x1???T?x2?，那么称T为D上的线性算子。D为T上的线性算子，记为D?T?；R?T???yy?Tx,x?D?T??是T的值域。
N?T???ke?r。 T????x?DTx????T?1???那么称T为零空间（或核） 注：?1?R?T?是Y的线性子空间，N?T?是X的线性子空间。 ?2?如果dimD?T???? ，那么dimR?T? ≤dimD?T?
命题4.1.3 算子有界：如果T:D??X1??X2是线性算子，那么称T在D上有界是指?M?0，使得对任何x?D有，Tx?Mx。
例1：T:C?a,b??C?a,b?，定义为： ?x?C?a,b? ，Tx??x???d?，?t??a,b?at证明：T是线性有界算子。
证明：?1?x1,x2?C?a,b?，?，? 为实数，那么有T??x1??x2??
. ????x1?????x2????d????x1???d????x2???d?=?Tx1??Tx2。
atttata ?2?Tx?max?x???d??max?x???d??xaat??a,b?t??a,b?t?bad???b?a?x
由?1?、?2?可知：T是线性有界算子。
例2：证明m?n矩阵A??aij?是线性有界算子。
证明：设x??x1,x2.,???,xn??Rn，y??y1,y2,???,ym??Rm，定义：Rn?Rm的算子A，那么A是线性有界算子。由矩阵定义易知：A是线性算子。
??下面我们证明A是有界的。取Rn中的范数为x???xi2?，y?Ax用分量表示
?i?1?n12为yi??aijxj?i?1,2,???,m?，应用柯西不等式：
j?1n?n??Ax?y???ax??ijj?i?1?j?1?22m211??m?nn2?2???mn2?222????????????aij???xj??????aij?x。 ?i?1?j?1??j?1???i?1j?1????2 12
2让M???aij，可知：A是线性有界算子。
i?1j?1mnxxx? 例3：证明：通过x??x1,x2,???,xn,?????y???11,22,???,nn,????定义的算子
??T:l??l?是线性有界的。
证明：T显然关于一般定义上的加法和数乘是线性的。下面我们证明T是有界的。
?x?由于：Tx?y?sup?n??sup?xn??x,取M?1，则我们有Tx?1?x，
n?1?n?n?1从而T是线性有界算子。
命题4.1.4 算子连续：如果D?D?X1??X2，x0?D，若对任意??0，存在??0，使得当x?x0??时，有Tx?Tx0??，那么称T在x0点连续；如果T在D上的每一点处都是连续的，那么我们就称T在D上是连续的。 4.2线性有界算子与线性连续算子
定理4.2.1 线性有界与线性连续：如果X1，X2是同一数域K上的线性赋范空间，D?X1是线性子空间，T:D?X2的线性算子，那么T在D上连续等价于
T在D上有界。（这就是说在研究线性赋范空间有界性时可以研究其上的连续性）
例1：如果X是线性赋范空间，? 是某一常数， ?x?X，令Tx?ax，证明：T是X?X的线性连续算子。
证明: ?x,y?X,?,??K，有T??x??y??a??x??y?=??ax????ay??
?Tx??Ty。即T为线性算子，又因为：Tx?ax?ax，所以：T是线性有界算子。由定理4.2.1可知：T是线性连续算子。
例2：用C1?0，1?表示?0，1?上的连续可微函数的全体，那么C1?0，1?是C?0，1?的线性子空间定义T:C1?a,b??C?0，1?如下：?x?C1?0，1?，Tx?x??t?，证明：T是 线性无界算子。
证明：取xn?t??tn，那么xn?maxtn?1，但是Txnntn?1?n，所以T是线
t??0,1? 13