证明：?1?d?x?z0,y?z0???x?z0???y?z0??x?y?d?x,y?. (2)d??x,?y???x??y??x?y??d?x,y?.
3线性有界泛函
线性赋范空间泛函有界性在不少问题的研究中常常起着重要的作用，又因其与连续泛函有着密切的联系，所以对其进行系统的归纳、总结是十分必要的。 3.1线性有界泛函有关概念
命题3.1.1 线性泛函：如果X是实（或复）数域K上的赋范空间，D是X上的线性子空间，f:D?K,若f满足：
??,??Kx,y?D,有f??x??y???f?x???f?y?.
那么就称f是D上的一个线性泛函，称D为f的定义域，f?D???f?x?x?D?为
f的值域。
若K?R1，那么称f是实线性泛函； 若K?C， 那么称f是复线性泛函； 若D?X， 那么称f是X上的线性泛函。
命题3.1.2 线性有界：如果f:D??X??R1是线性泛函，若存在M?0，对任何x?D，有f?x??Mx，那么称f是D上的线性有界泛函。 例1：区别线性有界与微积分中的有界概念的不同。
解：f?x??x在R1上是无界函数，但是作为R1到R1的线性泛函都是线性有界泛函。事实上：??,??R1,x,y?R1, f??x??y???x??y??f?x???f?y?. 那么?M?1,?x?R1,f?x??x?Mx?Mx.所以f?x?是R1上的线性有界泛函。
例2：求实n维欧氏空间Rn上的线性有界泛函。
解： 设a??a1,a2,?,an?是Rn中的固定向量，?x??x1,x2,?,xn??Rn，令
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f?x???aixi则f是Rn上的线性有界泛函。
i?1n证明：?1?f：Rn?R1
?2???,??K,x,y?R,?f?x???y????x??ii?yii?1
nna
???aixi???aiyi??f?x???f?y?.i?1i?1nnn12nnn
12??2?2? ?3?f?x???aixi??aixi???ai???xi?
i?1i?1?i?1??i?1? ?ax
取：M?a,?x?Rn,?M?a,使f?x??Mx.线性有界泛函 由?1?、?2?、?3?可知：f?x?是Rn上的线性有界泛函。
例3：在C?a,b?上定义泛函，?x?t??C?a,b?,y0?t?在?a,b?上连续，证明：
f?x???x?t?y0?t?dt和g?x???x?a???x?b?是线性有界的。??，?不全为零?
ab证明：?m,n?k,?x,y?C?a,b?
?1? f?mx?ny????mx?ny??t?y0?t?dt?m?x?t?y0?t?dt?n?y?t?y0?t?dt
aaabbb ?mf?x??nf?y?.所以：f?x?是线性的。 ?x?C?a,b?,则x?maxx?t?，那么：f?x??a?t?b?bax?t?y0?t?dt??x?t?y0?t?dt?
ab
??maxx?t??y?t?dt?x?y?t?dt.令M??bbaa?t?b0a0bay0?t?dt,则f?x??Mx.从而：f?x?是
有界的。
?2? g?mx?ny????mx?a??ny?a?????mx?b??ny?b???m??x?a???x?b???
n??y?a???y?b???mg?x??ng?y?.所以：g?x?是线性的。 g?x???x?a???x?b???x?a???x?b???maxx?t???maxx?t?
a?t?ba?t?b ??????maxx?t???????x.令M????,则g?x??Mx.从而：
a?t?b 5
g?x?是有界的。
例4：证明通过f?x??xn?n固定?,x?xj?l?，定义l?上为线性泛函，问：f?x?是有界的吗？
证明：?1?f:l??R1是泛函；
?2???,??k,?x,y?l?,则f??x??y???xn??yn??f?x???f?y?.
所以f?x?是线性的；
xi?x,即?M?1?0，使f?x??Mx. ?3??x?l?,f?x??xn?supi?1?? 所以f?x?是有界的。
命题3.1.3 线性连续：如果f:D??X??R1（或复数域C）是线性泛函且
f?x?在D上连续，那么就称f?x?是D上的线性连续泛函。
定理3.1.1 若D是X的线性子空间，f:D??X??R1，那么：f?x?在D上连续等价于f?x?在某一点x0?D处连续。
证明：必要性：f?x?在D上连续，：明显的我们有：f?x?在x0?D连续。 充分性：设?xn??D,x?D,xn?x?n???,则xn?x?x0?x0
?n???.f?x?在x0?D连续.于是有f?xn?x?x0??f?xn??f?x??f?x0? ?n???.那么有f?xn??f?x??n???即f?x?在x点连续，因此f?x?在D上连
续。
特别提醒：线性泛函f?x?在x=0连续，那么就有：f?x?在D上连续。 3.2线性有界泛函与线性连续泛函
定理3.2.1 如果f?x?是D上的线性泛函，则f?x?在D上连续等价于f?x?在D上有界。
证明：必要性：用反证法，假设f?x?在D上无界，?n?0,?xn?D,使
f?xn??nxn.令 xn?
f?xn?1xn那么xn??0?n???.而fxn?nnxnnxn??
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?11f?xn??nxn?1这与f?x?在D上连续相矛盾，所以有f?x?在Dnxnnxn上有界。
充分性：设f?x?在D上有界，则 ?M?0,?xn?D,xn?0?n???有
f?xn??Mxn?0?n???从而有在x0?0点连续，由定理3.1.1可知：f?x?在
D上连续。
例1： ?x?X,定义??x??0，则?是X上的线性连续泛函，称为零泛函。 例2：对x?C?令f?x???x?t?dt，则 ?x,y?C?b?，?a，?a,b?,有f??x??y?abbbb
????x?t???y?t???dt???ax?t?dt???ay?t?dt??f?x???f?y?所以：f?x?是a?C??a,b?上的线性泛函。
又由于f?x???x?t?dt??x?t?dt?maxx?t??aaa?t?bbbbadt??b?a?x.所以f?x?是C??a,b?上的线性有界泛函。
例3：设T??x?y?,证明：如果T有界，则N?T???xTx?0,x?X?是闭集。请问反之如何?
? 证明：如果T有界，那么T连续，则?x0??N?T??,?xn?N?T?,使xn?x0,所以有：Tx0?limTxn?0.即x0?N?T?.所以：N?T???xTx?0,x?X?是闭集。
n??反之不真。例如：取X?C??a,b?,Y?C?a,b?,Tx?x??t?,则T:X?Y连续，若Tx?0, 则x?t??c,N?T??xx?t??c?R1是闭集，但T是无界算子。
例4：设X1,X2是线性赋范空间，Tn:x1?x2?n?1,2,3,????是线性有界算子。证明：如果Tn?T，则对任何给定闭球中的一切x，存在N，当n?N时，有
??Tnx?Tx??.
证明：设M是给定的闭球并置于球B?xx?R之中，由于Tn?T,那么对于??0，存在N,当n?N时有Tn?T????R,所以?x?B有：
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Tnx?Tx?Tn?Tx??RR??.即命题得证。
3.3共轭空间
命题3.3.1 泛函范数：如果f?X?，定义f?x?的范数为f?supx?0f?x?x可
以验证：f满足范数的三条公理，事实上有：
?1?正定性： ?f?x???,有f?x??2?正齐性：对??K，有?f?x??sup?0,f?x??0?f?x???.
?supx???f?x?x.
?f?x?x
x????f?x?
??3?三角不等式性：?f1,f2?X?sup,?f1?f2??x??supx???supx???f1?f2??x?x
f1?x??f2?x?xf1?x?x?supx??f2?x?x
x???f1?f2.
所以X?是赋范空间，我们称X?为X的共轭空间。 结论：?1?当f?X?,x?X时，有：f?x??fx。 证明：因为：f?supx??f?x?x所以：f?x?是
f?x?x所以 有：?x???的上界，
f?f?x?x?x???从而：f?x??fx。
?2?如果f?x?是线性有界泛函，那么f?x?的范数有如下的等价形式： ‖f‖?supf?x?或f?supf?x?
x?1x?1 证明：f?supx??f?x?x?x??supf??x??x????
?supf?y??supf?y??supfx?supfy?1y?1y?1y?1y?f。
定理3.3.1 X?的完备性：如果X是线性赋范空间，那么其共轭空间X?是
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