（2）求车座点F到车架AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）根据勾股定理求出AE的长；
（2）作FH⊥AB于H，求出AF的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离． 【解答】解：（1）在Rt△ADE中，由勾股定理得， AE=
（2）如图所示：过点F作FH⊥AB于H， 在Rt△AFH中， sin∠FAH=
， =
=10（cm）．
∵AF=AE+CE+CF=10+30+20=60（cm）．
∴FH=AF?sin∠FAH=60?sin75°≈60×0.97=58.2（cm）． 答：车座点F到车架AB的距离为58.2cm．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
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21．如图，已知在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB、AC分别交于点D，E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （3）若⊙O的直径为20，cosB=，求阴影部分面积．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接CD，根据直径所对的圆周角为90°得∠BDC=90°，再由等腰三角形的三线合一得出结论；
（2）根据中位线的定义可以知道：OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，因为DF⊥AC，所以DF⊥OD，得出DF与⊙O相切；
（3）如图3，连接OE、BE，先根据特殊的三角函数值求出∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，求出直角△BEC各边的长，就可以求其面积，根据中线的性质可知△OEC的面积就是△BEC面积的﹣半，所求的阴影面积是扇形面积与△OEC的面积的差． 【解答】证明：（1）如图1，连接CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， ∵AC=BC，
∴点D是AB的中点；
（2）DF与⊙O相切，如图2，连接OD， ∵O是BC的中点，点D是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，
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∴DF⊥OD， ∴DF与⊙O相切；
（3）如图3，连接OE、BE， ∵cos∠ABC=， ∴∠ABC=60°， ∵AC=BC，
∴△ABC是等边三角形， ∴∠ECB=60°， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBC=30°， ∴∠EOC=60°， ∵BC=20， ∴EC=10， 由勾股定理得：BE=
=10
， ×10=25
=
， ﹣25
．
∴S△OEC=S△BEC=×BE?CE=×10∴S阴影=S扇形OEC﹣S△OEC=
﹣25
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【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的切线、等腰三角形及与圆有关的性质，明确切线的判定：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；在圆中要熟练掌握：①直径所对的圆周角为90°，②扇形面积=是斜边的一半．
22． 2015年12月16﹣18日，第二届互联网大会在浙江乌镇胜利举行，这说明我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）关于销售单价x（元）的函数解析式； （3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
（n为圆心角的度数，R为扇形半径），③直角三角形中，30°角所对的直角边
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）设y=kx+b，把（40，600），（75，250）代入，列方程组即可． （2）根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
（3）思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设y=kx+b，把（40，600），（75，250）代入可得交点
，
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，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500件．
（2）w=（x﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x2+1400x﹣40000．
（3）由题意解得60≤x≤75， 设成本为S，
∴S=40（﹣10x+1000）=﹣400x+40000， ∵﹣400＜0， ∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元．
【点评】本题考查二次函数．一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
23．问题：已知△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，连结CD，在CD的上测作以CD为底边，α为底角的等腰△CDE，连结AE，试探究BD与AE的数量关系． （1）尝试探究
如图1，当α=60°时，小聪同学猜想有BD=AE，以下是他的思路呈现．请你根据他的思路把这个证明过程完整地表达出来；
，
（2）特例再探
如图2，当α=45°时，请你判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明； （3）问题解决
如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE的数量关系是 BD=2cosα?AE ．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）
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