【考点】三角形综合题．
【分析】（1）当α=60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，连接EC，EC=DC，AC=BC，∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，可得：△BDC≌△CAE（SAS），答案可证． （2）过点D作DF∥AC，交BC于F，可证得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=∽△FCD，得：
=
．由DF∥AC，得：
=
可得到
=
=
BF，再证明△ADE
，继而得到答案．
（3）由连结EC，可利用四点共圆证角相等，然后证△BDC∽△AEC相似可以确定BD=2cosα?AE． 【解答】解：（1）BD=AE；∵∠BCA=60°，∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE， 在△BDC与△AEC中，∴△BDC≌△AEC， ∴BD=AE； （2）BD=
AE；理由如下：
，
过点D作DF∥AC，交BC于F． ∵DF∥AC， ∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°， ∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°． ∴△DFB是等腰直角三角形 ∴BD=DF=∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
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BF．
∵∠DFB+∠DFC=180° ∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α， ∴∠ADE=∠BCD． ∴△ADE∽△FCD． ∴
=
．
∵DF∥AC， ∴∴
==
． =AE．
，
∴BD=
（3）∵∠ABC=∠ACB=∠EDC=∠ECD=α， ∴∠BCD=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BCD， ∴∠ADE=∠ACE， ∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α， ∴△BDC∽△ACE， ∴又∵
=
， =cosα，
∴BD=2cosα?AE． 故答案为：BD=2cosα?AE．
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【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形相似的判定与性质的综合应用，在解答本题时要注意类比思想的应用，正确绘图也是解题的关键．
24．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx的图象经过点A（﹣1，4），交x轴于点B（a，0）． （1）求a与b的值；
（2）如图1，点M为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点C为AB的中点，点P是线段AM上的动点，如图2所示，问AP为何值时，将△BPC沿边PC翻折后得到△EPC，使△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把A（﹣1，4）代入y=x2+bx求出b，再把B（a，0）代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）如图1中，作MG∥y轴交AB于G．设M（x，x2﹣3x），则G（m，﹣m+3），根据S△ABM=S△AMG+S
△BMG
构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）如图2中，连接AF．只要证明四边形APCE是平行四边形，即可解决问题． 【解答】解：（1）把A（﹣1，4）代入y=x2+bx得到4=1﹣b， ∴b=﹣3， ∴y=x2﹣3x，
∵B（a，0）在函数图象上， ∴a2﹣3a=0， ∴a=3或0（舍弃）， ∴a=3．
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（2）如图1中，作MG∥y轴交AB于G．
设直线AB解析式为y=kx+b，把（﹣1，4），（3，0）代入得∴y=﹣x+3，设M（x，x2﹣3x），则G（m，﹣m+3），
，解得，
∴S△ABM=S△AMG+S△BMG=×4×[（﹣x+3）﹣（x2﹣3x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣1）2+8， ∵﹣2＜0，
∴当x=1时，△ABM的面积最大，最大值为8， 此时M（1，﹣2）．
（3）如图2中，连接AF．
∵C为AB中点，△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的， ∴F为AC与EP的中点，连接AE， ∴四边形APCE是平行四边形， ∴AP=EC=BC=AB=2
．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
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