（5）E?. 解：
（1）由??????????p(x,y)dxdy?1，110x??????????p(x,y)dxdy?A?xdx?A令 ydy??1，8解得A?8(2)
1??8x?ydyp?(x)??p(x,y)dy??x???0?0?x?1?4x1?x2??,其他0???0?x?1其他
???4y3同理p?(y)???00?y?1其他.(3)因为p(x,y)?p?(x)p?(y),所以?与?不独立。
1
x6??1454(5)E??yp(y)dy?4ydy?y?????05(4)P(????1)?8?xdx?1201?xydy?10?4 56.设二维随机变量(?,?)的分布函数为
x???y??F?x,y??A?B?arctan???arctan?，
2??23??则常数A,B分别为多少？并求其密度函数. 解：由分布函数F?x,y?的性质有
F???,????1，F???,y??0，
得
????A(B?)(?)?1??y222 ? ，因A?0，?arctan?0， ??y23?A(B?)(?arctan)?0223?所以，B??2，A?1?2。
F?x,y??1??x???y??arctan?arctan???， 2???22??23?故所求密度函数为
?2F(x,y)6?1??1???。 p?x,y???2?2??2??x?y??4?x??9?y?7.设?,?在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求?,?的联合密度函数（2）?,?是否相互独立？为什么？(3)求?,?的协方差cov(p(x,y)；?,?). 解：（1）由已知可得：?,?的概率密度为
（2）
同理
当且时，，
说明与不是独立的。 （3）因为
同理有：
所以：cov(?,?)?E(??)?E??E??1??1?1xdx?1?x2?1?x2ydy?0。
第五次作业
1、甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。 解：设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”
（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.14?0.12?0.22 （2）P(AB)?1?P(A?B)?1?0.22?0.78
P(AB)0.123???0.6
P(A)0.25（4）P(AB)?P(B)?P(AB)?0.14?0.12?0.02
（3）P(BA)?2、为防止意外， 在某矿内同时设有两种报警系统A及B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.9，系统B为0.92，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.8，求（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。 解：设A表示“A有效”，B表示“B有效”，则
（1）P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(BA)?0.98
（2）P(AB)?1?P(AB)?1?P(AB)?075。
P(B)3、假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率;(3) 该时期内只有甲河流泛滥的概率。 解：设A:表示“甲河泛滥”，B:表示“乙河泛滥”，
P(A)?0.1,P(B)?0.2,P(BA)?0.3
（1）
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(BA)?0.1?0.2?0.1?0.3?0.27
（2）
P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)0.1?0.3???0.15 P(B)P(B)0.2 （3）P(A)?0.1
4．发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0
时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率. 解：A?\发出0\，B?\收到0\,所求概率为
P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.7?0.856??0.949。
0.7?0.8?0.3?0.1595．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
解：设A表示“目标被击中”，B1表示“炮弹距目标250米射出”，B2表示“炮弹距目标200米射出”，B3表示“炮弹距目标150米射出”，
（1）P(A)??P(B)P(AB)?0.1?0.05?0.7?0.1?0.2?0.2?0.115
iii?13（2）P(B1A)?P(B1)P(AB1)?P(B)P(AB)iii?13?0.1?0.051?=0.043。
0.1?0.05?0.7?0.1?0.2?0.2236.已知产品中96％是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。 解：设A=“产品为合格品”，B=“简化方法检验为合格品” （1）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.96?0.98?0.04?0.05?0.94 （2）
P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.96?0.989408??0.9979。
0.96?0.98?0.04?0.0594287.一个机床有
1的时间加工零件A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,5加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。
解：设C表示“机床停机”,A表示“加工A零件”,B表示“加工B零件”
则：P(C)?P(A)P(CA)?P(B)P(CB)??0.3?154?0.4=0.38. 58．两台机床加工同一种零件，第一台出现不合格品的概率为0.03，第二台出现不合格品的概率为0.06，加工出来的产品放在一起，且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求（1）现任取一零件是合格品的概率；（2）如果取出的是不合格品，求它是第一台生产的概率。
解：设Ai表示“产品为第i台机床加工”，B表示“取到的产品为合格品”
（1）由全概率公式
P(B)??P(Ai)P(BAi)?i?1221?0.97??0.94?0.96 33（2）由贝叶斯公式
2?0.0313P(A1B)??
212?0.03??0.06339．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间?（以分计）服从指数分布其概率密度函数为
x?1?5?p(x)??5e??0x?0其他
某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以?表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率P(??1)；（2）求?的数学期望E? 解：（1）?~B(5,p)
??p?P(未等到服务而离开)?P(??10)??101?5edx?e?2，故 5xP(??1)?1?P(??0)?1?(1?e?2)5?0.5167
（2）E??np?5e?2。
10.某单位内部有200部电话分机，每个分机有5%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，利用中心极限定理确定，需准备多少条外线，才能以不低于95%的概率满足每个分机需使用外线时不用等候？
解：设?表示200台电话机需要外线的条数，则?~B(200,0.05)，由中心极限定理，
?~N(10,9.5)
设准备n条外线，由题意
近似0.95?P(??n)??(n?109.5n?109.5)
查表得
。 ?1.96?n?15.08，取n=15（条）