第六次作业 证明题：
1.设A、B为两个随机事件，且0?P(B)?1，证明：若P(AB)?P(AB)，则A与B相互独立. 证明:
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)??P(B)P(B)1?P(B)P(AB)?P(AB)P(B)?P(A)P(B)?P(B)P(AB) P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)由定义知A与B相互独立。
2.若随机事件A与B互斥，且P(B)?0，证明：
P(AB)?1?P(A)。 P(B)证明：由A与B互斥，从而P(AB)?0
P(AB)?P(AB)1?P(A)?P(B)?P(AB)P(A)??1?。
P(B)P(B)P(B)3.设A、B、C三事件相互独立，证明：A?B与C相互独立.
证明:
P((A?B)C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?(P(A)?P(B)?P(AB))P(C)?P(A?B)P(C)由定义知A?B与C相互独立。
?k?是独立随机变量序列,且 4.设?P?k??3k???1,k?1,2,... 2?k?服从大数定律. 证明?证明：
11112?E?k?k??(?k3)?0,D?k?E?k?(k3)2?(?k3)2??k3,2222 22n11n1n311当??k?独立时,2D(??k)?2?D?k?2?k?2?n?n3?1?0(n??).nnk?1nk?1nk?1n3故??k?满足马尔可夫条件,从而??k?服从大数定律.
1311125、设为随机变量序列，若
(i)独立，同分布，
(ii)令
存在，
证明
limP(?n?x)?n??
12?n?x??e?t22dt .
证明：改写?n为?n??(?i?1i?m)，
n?设?i?m的特征函数为?(t),i?1,2,...，（由同分布）
?(?i?m)的特征函数为??(t)???(t)?，（由独立性）
ni?1i?1nn?t?)?，（由特征函数的性质） ?n的特征函数为??n(t)???(n???而?(0)?1,??(0)?0,???(0)???，（由E(?i?m)?0,D(?i?m)??,）
22n?(t)??(0)???(0)1!??t????(0)1t2??(t2)?1??2t2??(t2),i?1,2,...， 2!22n?t22??(t)??1?ntt???()??e2nn?2,n??
由于e?t22正是标准正态分布的特征函数，从而
t22limP(?n?x)?n??12??x??e?dt.
6.设(X,Y)的联合密度函数为
?3xp(x,y)???0证明：X?Y与Y不独立、但同分布. 证明： 设
0?y?x?1,其他
对
从而
故
不独立但同分布，即与不独立、同分布。