(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤y≤2,
.
}. 于是
3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f
1
2
1
(x)及f(y)的乘积, 即f(x,
2
y)= f(x)?f(y), 积分区域D={(x, y)| a≤x≤b, c≤ y≤d}, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 .
由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得
4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是:
2
(1)由直线y=x及抛物线y=4x所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)| }, 或D={(x, y)| },
所以
2
或
2
2
.
(2)由x轴及半圆周x+y=r(y≥0)所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且 D={(x, y)| 或D={(x, y)|
},
},
所以 , 或 .
(3)由直线y=x, x=2及双曲线(x>0)所围成的闭区域;
解?积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)| },
或D={(x, y)| }∪{(x, y)| },
所以 , 或
2
2
.
(4)环形闭区域{(x, y)| 1≤x+y≤4}.
解 如图所示, 用直线x=?1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D,
1
2
3
D. 于是
4
1
2
3
4
用直线y=1, 和y=?1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D, D , 如图所示. 于是
5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域, 证明:.
证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}. 于是 , 或.
因此 .
6. 改换下列二次积分的积分次序:
(1);
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤y}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤1}, 所以 . (2);
2
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤2, y≤x≤2y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤4, (3) 解
; 根据积
.
}, 所以
由分限可得积分区域
如图.
因为积分区域还可以表示为 (4)
;
域
还
可
以
, 如图.
表示 所以
.
为
, 所以
解 由根据积分限可得积分区域
因为积分区
(5)∫∫;
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1≤x≤e, 0≤y≤ln x}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤y≤1, e≤x≤ e}, 所以 (6)
(其中a≥0)．
, 如图.
,
y
解 由根据积分限可得积分区域 因为积分区域还可以表示为
所以 .
7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为μ(x,
y)=x+y, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为
22
.
8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.
解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为
.
9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x+y=6?z截得的立体的体积.
解 立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤1?x}, 所求立体的体积为以曲面z=6?x?y为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即
.
2
2
22
10. 求由曲面z=x+2y及z=6?2x?y所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x
2
2
2
2222
+2y=6?2x?y, 即x+y=2, 故立体在xOy面上的投影
22222
区域为x+y≤2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以
.
11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: 222
(1){(x, y)| x+y≤a}(a>0);
解?积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a}, 所以