解 由根据积分限可得积分区域 因为积分区域还可以表示为
,
, 如图.
所以 .
7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为μ(x, y)=x+y, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为
2
2
.
8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.
解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为
.
9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x+y=6?z截得的立体的体积.
解 立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤1?x}, 所求立体的体积为以曲面z=6?x?y为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即
.
2
2
22
10. 求由曲面z=x+2y及z=6?2x?y所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x
2
2
2
2222
+2y=6?2x?y, 即x+y=2, 故立体在xOy面上的投影
22222
区域为x+y≤2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以
.
11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: 222
(1){(x, y)| x+y≤a}(a>0);
解?积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a}, 所以
.
(2){(x, y)|x+y≤2x}; 解 积分区域D如图. 因为
2
22
2
, 所以
.
(3){(x, y)| a≤x+y≤b}, 其中0
解 积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
.
(4){(x, y)| 0≤y≤1?x, 0≤x≤1}. 解 积分区域D如图. 因为
22
, 所以
. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1);
解 积分区域D如图所示. 因为
所以
(2) ; 解 积分区域D如图所示, 并且 所示
,
.
,
.
(3) ;
解 积分区域D如图所示, 并且 所以
(4).
解 积分区域D如图所示, 并且 所以
13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)
;
,
,
解 积分区域D如图所示. 因为 (2)
;
.
, 所以
解 积分区域D如图所示. 因为 (3)
;
.
, 所以
解 积分区域D如图所示. 因为 (4)
.
.
, 所以
解 积分区域D如图所示. 因为
14. 利用极坐标计算下列各题:
2
2
, 所以 .
(1)∫∫，其中D是由圆周x+y=4所围成的闭区域; 解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以
.
2
(2)∫∫，其中D是由圆周x区域;
解 在极坐标下
(3)
限内的闭区域. 解 在极坐标下
2
2
+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
2
, 所以
.
, 其中D是由圆周x+y=4, x+y=1及直线y=0, y=x所围成的第一象
2
2
, 所以
. 15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)
，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.
, 所以
.
, 其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
2
2
解 因为积分区域可表示为 (2)区域;
解 在极坐标下
, 所以
.