.
(2){(x, y)|x+y≤2x}; 解 积分区域D如图. 因为
2
22
2
, 所以
.
(3){(x, y)| a≤x+y≤b}, 其中0
解 积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
.
(4){(x, y)| 0≤y≤1?x, 0≤x≤1}. 解 积分区域D如图. 因为
22
, 所以
. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1);
解 积分区域D如图所示. 因为 所以
(2) ; 解 积分区域D如图所示, 并且
. ,
,
所示
.
(3) ;
解 积分区域D如图所示, 并且 ,
所以
(4).
解 积分区域D如图所示, 并且 ,
所以
13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)
;
解 积分区域D如图所示. 因为 ,
.
(2)
;
所以
解 积分区域D如图所示. 因为 (3)
;
.
, 所以
解 积分区域D如图所示. 因为 (4)
.
.
, 所以
解 积分区域D如图所示. 因为
14. 利用极坐标计算下列各题:
2
2
, 所以 .
(1)∫∫，其中D是由圆周x+y=4所围成的闭区域; 解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以
.
2
(2)∫∫，其中D是由圆周x区域;
解 在极坐标下
+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
2
, 所以
(3)
限内的闭区域. 解 在极坐标下
2
2
.
, 其中D是由圆周x+y=4, x+y=1及直线y=0, y=x所围成的第一象
2
2
, 所以
. 15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)
，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.
, 所以
.
, 其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
2
2
解 因为积分区域可表示为 (2)区域;
解 在极坐标下
, 所以
.
(3)∫∫, 其中D是由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a>0)所围成的闭区域; 解 因为积分区域可表示为D={(x, y)|a≤y≤3a, y?a≤x≤y}, 所以
.
(4) , 其中D是圆环形闭区域{(x, y)| a≤x+y≤b}. 解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
.
)与直线
所围
2222
16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧(成, 它的面密度为μ(x, y)=x+y. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下
2
2
, 所以所求质量
. 17. 求由平面y=0, y=kx(k>0), z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.
解 此立体在xOy面上的投影区域D={(x, y)|0≤θ≤arctank, 0≤ρ≤R}.
.
18. 计算以xOy平面上圆域x+y=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x+y为顶的曲顶柱体的体积.
解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|x+y≤ax}. 在极坐标下
2
2
2222
, 所以
.
习题9?2
1. 计算下列二重积分:
(1)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|≤1, |y|≤1}; 解 积分区域可表示为D: ?1≤x≤1, ?1≤y≤1. 于是
.
(2)∫∫, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: