解 积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2?x. 于是
(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; 解
.
.
(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.
解 积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,
.
2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)
, 其中D是由两条抛物线
.
, 所围成的闭区域;
}. 于是
.
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤x≤1,
(2)∫∫, 其中D是由圆周x
2
2
+y=4及y轴所围成的右半闭区域;
}. 于是
.
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| ?2≤y≤2,
(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1}; 解 积分区域图如, 并且
D={(x, y)| ?1≤x≤0, ?x?1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x?1≤y≤?x+1}. 于是
=e?e.
?1
(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤y≤2,
.
}. 于是
3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f
1
2
1
(x)及f(y)的乘积, 即f(x,
2
y)= f(x)?f(y), 积分区域D={(x, y)| a≤x≤b, c≤ y≤d}, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 .
由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得
4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是:
2
(1)由直线y=x及抛物线y=4x所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)| }, 或D={(x, y)| },
所以
2
或
2
2
.
(2)由x轴及半圆周x+y=r(y≥0)所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且 D={(x, y)| 或D={(x, y)|
},
},
所以 , 或 .
(3)由直线y=x, x=2及双曲线(x>0)所围成的闭区域;
解?积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)| },
或D={(x, y)| }∪{(x, y)| },
所以 , 或
2
2
.
(4)环形闭区域{(x, y)| 1≤x+y≤4}.
解 如图所示, 用直线x=?1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D,
1
2
3
D. 于是
4
1
用直线y=1, 和y=?1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D, D ,
2
3
4
如图所示. 于是
5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域, 证明:.
证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}. 于是 , 或.
因此 .
6. 改换下列二次积分的积分次序:
(1);
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤y}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤1}, 所以 .
(2);
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤2, y2
≤x≤2y}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤4, }, 所以
.
(3) ; 解
由根据积
分限可得积分区 如图. 因为积分区域还可以表示为 , 所以
(4)
;
解 由根据积分限可得积分区域
, 如图. 因为积分区
域
还
可
以
表示 所以
.
(5)∫∫;
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1≤x≤e, 0≤y≤ln x}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤y≤1, ey
≤x≤ e}, 所以
(6)
(其中a≥0)．
域
为