极大值
极小值
所以当时，有极大值；当时，有极小值.
通过本例，明确求函数的极值的步骤：
① 计算导数；
② 求出方程的根；
③ 列表考察的根左右值的符号：如果左正右负，那么
在这个根处取得极小值.
在这个根处取得
极大值；如果左负右正，那么
例8 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
解：（1）．
令，解得或．
所以函数的单调递减区间为，．
（2）因为，，
所以．
因为在上单调递减，因此
上
和
，所以分别是
在在区间
上单调递增，又由于在
上的最大值和最小值．
于是有，解得．
故，因此，
即函数在区间上的最小值为．
通过本例，明确求函数在闭区间上最值的基本方法：
① 计算导数；
② 求出方程的根；
③ 比较函数值在闭区间
上最大（小）值．
及的大小，其中的最大（小）者就是
例9 求证：当时， ．
不等式两边都是关于的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数通过研究函数
的单调性来辅助证明不等式.
，
证明：构造函数，则.
当时，有，从而，
所以函数在上单调递减，
从而当时，， 即当时， . 通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用. 三、学生学习中常见的错误分析与解决策略 1．忽视函数的定义域： 例10 求函数的单调区间. 易错点：不优先考虑函数的定义域而直接求导，但求导后函数的 “模样”（类型）变化很大，导致定义域变化，因而出现问题. 简解：的定义域是，且， 令，得（舍去）. 列表分析如下： 所以函数的减区间是，增区间是. 错因分析：研究一个函数要优先考虑自变量的取值集合，这是一个基本顺序.在本题中如果忽视它，将导致对于的无谓讨论. 解决策略：
① 明确导数是研究函数性质的工具之一，遵循一般函数的研究顺序； ② 养成在定义域范围内研究函数问题的习惯； ③ 有检验意识.
2．不会研究较抽象的问题
例11 设，，且
分别是定义在
，则不等式
上的奇函数和偶函数.当
的解集是（ ）
时，
A． B．
C． D．
易错点：题目给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数，不知从何下手？ 错因分析：对于函数与导数要有整体的把握，才能从更高的观点出发，对于新情境问题找到突破口.
解决策略：首先要标出重要的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究.由
你能产生什么联想？它和积的导数公式很类似，整理可得
.令
数
是奇函数. 还有一个已知条件
，则当
时，，进而可得
是增函数．再考虑奇偶性，函
，这
样我们就可以画出函数的示意图，借助直观求解. 答案：D
3．用导数解决实际问题
例12 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多
，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
易错点：读不懂题，不能化未知为已知；即使能够建立函数关系也不关注实际背景． 错因分析：函数观念弱化，无法建立函数关系，建模能力弱．
解决策略：解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．
简解：设容器底面长方形宽为，则长为，
依题意，容器的高为．
显然，即的取值范围是．
记容器的容积为，
则 ．
对此函数求导得，．
令，解得； 令，解得．
所以，当时，取得最大值1.8，这时容器的长为．
答：容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为．
四、学生学习目标检测分析 （一）课程标准中的相关要求 1．导数及其应用