联立求得最大拉力F＝7mg.
(2)小球绕钉子做圆周运动恰好到达最高点时，有：
2v 2
mg＝m R2
l12
运动中机械能守恒：mg(－R2)＝mv 2 22
l钉子所在位置为x′＝ ?l－R2?2－??2
2
7
联立解得x′＝l
6
75
因此钉子所在位置的范围为l≤x≤l.
64
75
答案 (1)7mg (2)l≤x≤l
64
6．(2014·新课标Ⅰ·20)如图7所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
图7
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
kg
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
2l2kgD．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
3l答案 AC
解析 小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，
2
静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mω al，当fa＝kmg
kg222
时，kmg＝mω l，ω＝ ；对木块b：fb＝mω 2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω 2l，ωbaab·b·l
kg＝ ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则
2l
kg
fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa 2l 2kg2 ω＝ 时，a没有滑动，则fa＝mω2l＝kmg，选项D错误． 3l3 7．(2014·新课标Ⅱ·17)如图8所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( ) 图8 A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg 答案 C 1 解析 设大环半径为R，质量为m的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以mv2＝mg·2R. 2mv2 小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2gR，根据牛顿第二定律得FN－mg＝，所以在最R mv2 低点时大环对小环的支持力FN＝mg＋＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力 RFN′＝FN＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力T＝Mg＋FN′＝Mg＋5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg，故选项C正确，选项A、B、D错误． 1．圆周运动的基本规律 v22π2 (1)向心力：F＝mωr＝m＝m()2r＝m(2πf)2r＝m(2πn)2r. rT(2)向心加速度 v22π2 ①大小：a＝ωr＝＝()r＝(2πf)2r＝(2πn)2r. rT 2 ②注意：当ω为常数时，a与r成正比；当v为常数时，a与r成反比；若无特定条件，不能说a与r成正比还是成反比． 2．要注意竖直平面内圆周运动的两种临界状态的不同： 分类 实例 最高点无支撑 球与绳连接、水流星、翻滚过山车 最高点有支撑 球与杆连接，车过拱桥、球过竖直管道、套在圆环上的物体等 图示 在最高 点受力 恰好过 最高点 重力、弹力F弹向下或等于零 v2mg＋F弹＝m r2vF弹＝0，mg＝m，v＝rg(在最高r点速度不能为零) 重力、弹力F弹向下、向上或等于v2零mg±F弹＝m rF弹＝mg，F向＝0(在最高点速度可以为零) 考题4 平抛与圆周运动组合问题的综合分析 例4 (17分)如图9所示，一小物块自平台上以速度v0水平抛出，刚好落在邻近一倾角为α＝53°的粗糙斜面AB顶端，并恰好沿该斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.032 m，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A点离B点所在平面的高度H＝1.2 m．有一半径为R的光滑圆轨道与斜面AB在B点相切连接，已知cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2.求： 图9 (1)小物块水平抛出的初速度v0是多少； (2)若小物块能够通过圆轨道最高点，圆轨道半径R的最大值． 解析 (1)小物块自平台做平抛运动，由平抛运动知识得：vy＝2gh＝2×10×0.032 m/s＝0.8 m/s(2分) vy由于物块恰好沿斜面下滑，则tan 53°＝(3分) v0得v0＝0.6 m/s.(2分) (2)设小物块过圆轨道最高点的速度为v，受到圆轨道的压力为FN. v2 则由向心力公式得：FN＋mg＝m(2分) R μmgHcos 53°112 由动能定理得：mg(H＋h)－－mg(R＋Rcos 53°)＝mv2－mv 0(5分) sin 53°22小物块能过圆轨道最高点，必有FN≥0(1分) 联立以上各式并代入数据得： 88 R≤ m，即R最大值为 m．(2分) 2121 8 答案 (1)0.6 m/s (2) m 21 (2014·福建·21)(19分)如图10所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力． 图10 (1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf； (2)某游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与 v2 其速率的关系为F向＝m) R 2 答案 (1)2gR －(mgH－2mgR) (2)R 3解析 (1)游客从B点做平抛运动，有 2R＝vBt 1 R＝gt2 2 ① ② ③ 由①②式得vB＝2gR 从A到B，根据动能定理，有 1 mg(H－R)＋Wf＝mvB 2－0 2由③④式得Wf＝－(mgH－2mgR) ④ ⑤ (2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有 1 mg(R－Rcos θ)＝mvP 2－0 2 ⑥ 过P点时，根据向心力公式，有 vP 2 mgcos θ－N＝m RN＝0 ⑦ ⑧ h cos θ＝ R ⑨ ⑩ 2 由⑥⑦⑧⑨式解得h＝R 3 知识专题练 训练3 题组1 运动的合成和分解 1．如图1所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点所用的时间相等．则下列说法中正确的是( ) 图1 A．质点从M到N过程中速度大小保持不变 B．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同 C．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同 D．质点在M、N间的运动不是匀变速运动 答案 B 解析 由题图知，质点在恒力作用下做一般曲线运动，不同地方弯曲程度不同，即曲率半径不同，所以速度大小在变，所以A错误；因是在恒力作用下运动，根据牛顿第二定律F＝ma，所以加速度不变，根据Δv＝aΔt可得在相同时间内速度的变化量相同，故B正确，C错误；因加速度不变，故质点做匀变速运动，所以D错误． 2．公交车是人们出行的重要交通工具，如图2所示是公交车内部座位示意图，其中座位 A和 B的边线和车前进的方向垂直，当车在某一站台由静止开始匀加速启动的同时，一个乘客从A座位沿 AB连线相对车以 2 m/s的速度匀速运动到 B，则站在站台上的人看到该乘 客( ) 图2 A．运动轨迹为直线 B．运动轨迹为抛物线 C．因该乘客在车上匀速运动，所以乘客处于平衡状态 D．当车速度为5 m/s时，该乘客对地速度为7 m/s 答案 B 解析 人相对地面参与了两个方向的运动，一个是垂直于车身方向的匀速运动，一个是沿车身方向的匀加速直线运动，类似于一个物体做平抛运动，所以运动轨迹是抛物线，故A错误，B正确；乘客受到沿车身方向的合外力，处于非平衡状态，C错误；速度的合成遵循平行四