第四章习题答案详解
32练习4.1
1. 函数f(x)?4x?5x?x?2在区间[0,1]上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.
解：f(x)?4x?5x?x?2是初等函数。在其有意义的区间(??,??)内连续， 所以在[0,1]上连续。
2又?f?(x)?12x?10x?1在?0,1?内存在，?f(x)在(0,1)内可导,
32而f(0)?f(1)??2
因此f(x)在[0,1]上满足罗尔定理所有条件。
2故有f?(?)?12??10??1?0 (0???1)
得 ?1?5?135?13?(0,1) ?2??(0,1). 1212322. 函数f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上是否满足柯西中值定理的条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.
32解：f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且g?(x)?2x?0?x?(0,1)?，所以f(x)与
g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件，故在(0,1)内至少存在一点?，使 1?03?2f(1)?f(0)f?(?)2??0???1?，即?，????0,1?. 2?12?g(1)?g(0)g?(?)333. 证明方程x?3x?1?0在[0,1]上存在一个实根.
3证明：令f(x)?x?3x?1,则f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?1?0,f(1)??1?0
0，1）内至少有一实根。 x1?(0,1),使f(x1)?0。既方程x?3x?1?0在（由零值定理知至少存在点 1 / 49
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若方程x3?3x?1?0在[0,1]上还存在实根x2，即f(x2)?0
则f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上连续，在?x1,x2?(或?x2,x1?)内可导，所以f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上满足罗尔定理条件，故至少存在一点???x1,x2?(或?x2,x1?)，使得
f?(?)?0,但f?(?)?3?2?3?0，矛盾,
因此方程x3?3x?1?0在[0,1]上存在一个实根。 4. 证明方程x?x?1?0只有一个正根.
证明：令f(x)?x5?x?1，则f(x)在[0,??)上连续，且f(0)??1?0，f(1)?1?0，
5x1?(0,1),使f(x1)?0。既方程x?x?1?0在至少有一个正根。 由零值定理知至少存在点若方程x?x?1?0还有另外一个正根x2，即f(x2)?0.
则f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上连续，在?x1,x2?(或?x2,x1?)内可导，所以f(x)在?x1,x2?(或?x2,x1?)上满足罗尔定理条件，故至少存在一点???x1,x2?(或?x2,x1?)，使得
55f?(?)?0,但f?(?)?4?2?1?0，矛盾,
因此方程x?x?1?0只有一个正根。
5.已知函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，不求f(x)的导数，试讨论方程
5f?(x)?0的实根并指出它们所在的区间。
解：f(x)在???,???内连续、可导，且f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0
?f(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上都满足罗尔定理条件。由罗尔定理知至少存在
，使得f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0 ?1?（1，2），?2?（2，3），?3?（3，4）即方程f?(x)?0至少有三个实根。又方程f?(x)=0为三次方程，故它至多有三个实根。因此方程f?(x)=0
（1，2）（,2，3）（,3，4）内。 有且仅有三个实根，它们分别在区间
6.利用拉格朗日中值定理证明下列不等式： (1) |arctanx?arctany|?|x?y| 证：若x?y,显然成立；
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若x?y ，不妨设y?x
令f(t)?arctant ， t?[y,x]
易得f(t)在[y,x]上满足拉格朗日定。条所以在(y,x)内至少存在一点?，使得件理f?(?)?f(x)?f(y) (y???x)
x?y即
arctanx?arctany1 ?2x?y1??arctanx?arctany1??1，所以|arctanx?arctany|?|x?y|
x?y1??2于是
对于y?x， 同理可证。 故 |arctanx?arctany|?|x?y| （2）若0?b?a则
a?baa?b ?ln?abb 证：若b?a 显然等号成立； 若b?a，设f(x)?lnx x?[b,a]，
易得f(x)在[b,a]上满足拉格朗日中值定理条件，所以在(b,a)内至少存在一点?，使得
f?(?)?1lna?lnb1af(a)?f(b)?ln. (b???a) 即??a?ba?bba?b11111a1??，于是?ln?. a?baa?bbb 由0?b???a，有
a?baa?b . ?ln?abba?baa?b故若0?b?a，有. ?ln?abbx（3） 若x?0,则?ln(1?x)?x.
1?x所以
1?t) 易得f(t)在[0,x]（x?0）上满足拉格朗日中值定理条件，所以在(0,x)内至 证：令f(t)?ln(少存在一点?，使得
f?(?)?1ln(1?x)f(x)?f(0)? (0???x)， 即 . 1??xx?0 3 / 49
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因为0???x ，所以1?1???1?x，
于是
111ln(1?x)??1得??1 x?1??1x?1x而x?0，所以
x?ln(1?x)?x. 1?xx（4）若x?1，则e?ex.
证：令f(t)?e 易得f(t)在[1,x](x?1)上满足拉格朗日中值定理条件，所以在(1,x)内至少存在一点?，
tex?ef(x)?f(1)?e? (1???x),即使得f?(?)?x?1x?1x?又因为1???x，所以x?1?0，e?e，由此e?e?e(x?1)，即e?ex
xx故若x?1，则e?ex.
7.证明恒等式：arctanx?arccotx??2.
证：令f(x)?arctanx?arccotx x?(??,??) 因为f?(x)?11??0， 所以f(x)?c?c常数?。
1?x21?x2取x?0得f(0)?c?arctan0?arccot0?因此arctanx?arccotx?
?2.
?2.
练习4.2
1.求下列函数的极限
ln(1?x2)（1）lim 2x?0x2x2ln(1?x)?0?11?x解：lim= ==1 limlim??2x?0x?0x?0x202x1?x??2
ex?e?x（2）lim
x?0x 4 / 49
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解：limex?e?x?0?x?0x??0???lim(x?0ex?e?x)?2 （3）lim1?2sinxx??cos3x
6解：lim1?2sinx?0??2cosx??6cos3x??0???limx?3 x??6?3sin3x3（4）limln(1?x)?xx?0cosx?1
1解：limln(1?x)?x?0??1x?0cosx?1??0???lim1?xx?0?sinx?limxx?0(1+x)sinx?1 （5）limlnsinxx??22(??2x)
解：limlnsinx?0?cotx?0??csc2x1x??2(??2x)2??0??=limx???4(??2x)?0?=lim??? 2??x?288（6）limxm?amx?axn?an(m,n??1) 解：limxm?am?0?mxm?1mm?nx?axn?an(m,n??1)??0??=limx?anxn?1=na
（7）lntan7xxlim?0?lntan2x
7sec2x解：lntan7x???tan7xxlim?0?lntan2x?????=xlim=lim7tan2x?0?2sec2xx?0?2tan7x=1 tan2x（8）limtanxx??2tan3x 22解：limtanx????2?=limsecx=1??limcos3x??1???3sin3x??1x???2tan3x???x??23sec23x3??x?2cosx?=lim=?9?3?3??x???2?sinx?3ln(1?1（9）x)xlim???arccotx 5 / 49
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