f(?)?6??33???33??????， f()?， f(?)?， f()??. 6662222????,]上的最大值为f(?)? ，最小值为f()??.
2222226. 一工厂A与铁路的垂直距离为20公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为100公里，工厂的产品需经过火
经比较可知，f(x)在[?车站C才能转销外地，为使运费最省，准备在铁路上选定一点D向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5.为了使产品从工厂A运到火车站C的运费最省，问D点应离火车站C多少公里？
解：如图，已知AB?20公里，BC?100公里， 设BD?x公里，那么DC?100?x公里，
BDC??AD?202?x2?400?x2，
A 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运 （ 第6题）
的运费之比为3:5.不妨设铁路每公里货运的运费为3k，公路上每公里货运的运费5k.设从工厂A到火车站
C的总运费为y，则
y?5k?AD?3k?DC?5k400?x2?3k(100?x)(0?x?100).
y??5kx400?x2?3k，令y??0，得唯一驻点x?15.
yB1而y(0)?400k，y(15)?380k，y(100)?500k1?，经比较知x?15公里时，总运费最省，此时D25C点离火车站C的距离DC?100?15?85公里。
7. 求抛物线y?1?x(0?x?1)的切线与两条坐标轴所围成的三角形的面积的最小值。 O解：如图，设点C(?,?)为抛物线上任意一点，则??1??. 抛物线在点C的斜率为y?x??2Ax2??2?.
切线方程为y????2?(x??)，
?1??222?令y?0，得x???.令x?0，得y???2??1??. （第7题） 2?2?1??22即过点C的切线在两坐标轴上的截距分别为OA?.OB?1??.
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11??2(1??2)22于是三角形OAB的面积为S(?)?()(1??)?(0???1).
22?4?(1??2)(3?2?1)3，令S?(?)?0，得唯一驻点?0?, S?(?)?34?且当0???33343时S?(?)?0，当所以S(为极小值，从而也是最小值，???1时S?(?)?0，)?333932,). 33这时切点为(
练习4.4
求下列函数曲线的凹向区间与拐点 （1）f(x)?3x?x
解：D?(??,??)，f?(x)?6x?3x，f??(x)?6?6x，令f??(x)?0，得x?1.
223x f??(x) f(x) (??,1) 1 0 (1,??) ? ? ? 2 ? 曲线f(x)在(??,1)内上凹，在(1,??)内下凹，拐点(1,2) （2）f(x)?1?x2 解：D?(??,??) f?(x)?x1?x2
1?x2?x? f??(x)?x1?x2=1(1?x)1?x221?x2?0 ，D内无使f??(x)?0的点
也无使f??(x)不存在的点。所以此曲线无拐点。 在(??,??)内上凹。 （3）f(x)?a?3x?b 12 / 49
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2?121解：D?(??,??)，f?(x)??(x?b)3, f??(x)?.
5339(x?b)x?b时f??(x)不存在。
x f??(x) f(x) (??,b) ? b 不存在 (b,??) ? ? ? a 曲线在(??,b)内下凹，在(b,??)内上凹，拐点(b,a) （4）f(x)?3x?2x 解：D?(??,??)， f?(x)?1313x2?2， f??(x)??21. 33x5x?0时f??(x)不存在。
x f??(x) f(x) (??,0) 0 不存在 (0,??) ? ? ? 0 ? 曲线在(??,0)内上凹，在(0,??)内下凹，拐点(0,0)。
练习4.5
1.求下列曲线的渐近线 （1）y??x?1?x2?1 解：y?x2?1?(x?1)
2x???limf(x)?lim[x?1?(x?1)](???)x???=
x???limx2?1?(x?1)2x?1?(x?1)2=
x???lim?2xx?1?(x?1)2=
x???lim?21?11?(1?)2xx??1.
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xlim???f(x)?xlim[???x2?1?(x?1)]???
曲线有水平渐近线y??1. 无垂直渐近线.
*设有斜渐近线y?ax?b(a?0)，则
a?f(x)x2?1?(x?1)xlim???x?xlim???x?xlim???(?1?11x2?1?x)??2， b?xlim[???f(x)?ax]?xlim[???x2?1?(x?1)?2x]?xlim[???x2?1?(x?1)](???)?xlim2x???x2?1?(x?1)?xlim2???1??1
?1?1x2?(1?x)曲线有斜渐近线y??2x?1. （2）y?1(x?1)3 解：limf(x)1x???limx?(x?1)3?0 ， 曲线有水平渐近线y?0.
1xlim??1f(x)?limx??1(x?1)3?? ，
曲线有垂直渐近线x??1.
2.求作下列函数的图形 （1）y?x?1x
解: （1）定义域为(??,0)?(0,??),
（2）f(x)是奇函数,其图形关于原点对称,无周期性.
(3)limf(x)=lim(x?1x??x??x)=? 曲线无水平渐近线.
l1x?im0fx(= )lim(x?0x?x)?? x?0是曲线的垂直渐近线
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设有斜渐近线y?ax?b(a?0)，则
a?limf(x)x??x?limx??(1?1x2)?1
b?limx??[f(x)?x]?lim1x??x?0
曲线的斜渐近线为y?x. (4)f?(x)?1?1x2,令f?(x)?0，得驻点x1??1,x2?1， f??(x)?2x3，无使得f??(x)?0的点，函数定义域中也无使f??(x)不存在的点. （5）列表讨论 x (??,?1) y?1 (?1,0) (0,1) 1 (1,??) f?(x) + 0 ? ? 0 ? ? 2f??(x) ? ? ? ? ? ?101xf(x) ?? 极大值?2?2 ?? ?? 极小值2 ?? （6）作图
(2) y?3x2?2
解：（1）定义域为(??,??)
（2）由y?0知曲线在x轴上方. f(x)是奇函数,其图形关于y轴对称,无渐近线. 15 / 49
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