使得f(c)?1. 2f(x)在[0,c]和[c,1]上分别满足拉格朗日中值定理条件，因此有：
f?(?1)?f(c)?f(0)1，即?2c,?1?(0,c)?(0,1)，
c?0f?(?1)f(1)?f(c)1，即?2?2c,?2?(c,1)?(0,1)，
?1?cf(?2)f?(?2)?从而
11?2c?2?2c?2. ?f?(?1)f?(?2)*10.设
f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导；若在(0,1)内有x1?x2，使f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，证22明：在(0,1)内存在两点?1,?2(?1??2)，使f'(?1)?f'(?2).
x1?x2f(x1)?f(x2))? 22x?x2x?x2得f(1)?f(x1)?f(x2)?f(1)
22x?xx?xf(x)在[x1,12]，和[12,x2]上分别应用拉格朗日中值定理得，
22x1?x2x1?x2f()?f(x1)f()?f(x)1x1?x222)，使得f?(?1)?存在?1?(x1, ?x2?x1x1?x22?x122 证：因为f(存在?2?(x1?x2,x2)，使得f?(?2)?2f(x2)?f(x?xx1?x2)f(x2)?f(12)22 ?x2?x1x1?x2x2?22所以得f'(?1)?f'(?2)，?1,?2?(0,1),?1??2. 11．求下列函数的极限
3 （1）limx?01?x?1e?1x16
133(1?x)21?x?1016116()解：lim=== limlimxxxx?0x?0x?030313(1?x)2?e16e16?1e16?163 31 / 49
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（2）limesinx?ex x?0sinx?x
esinx?exex(esinx?x解：limx?0sinx?x?lim?1)x?0sinx?x
当x?0时，(esinx?x?1)~(sinx?x)
所以limesinx?exx?0sinx?x?limx?0ex?1 sin1（3）xxlim?????2arctanx
sin11?1解：2xlimx?????2arctanx=xlimx0x1?x21?????2arctanx(0)=xlim???=lim=?2x???2x221?x2（4）xlimx2?lnx???xlnx
22x?1解：x?lnxxlim???xlnx(??)=xlimx2x2?1???lnx?1=xlim???x(lnx?1)(??)=xlim4x????lnx?2(?) =lim4x???1=xlim???4x???
x（5）lim(cotx?0x?1x)
解：lim(cotx?0x?1x)(???)=limxcosx?sinxxcosx?sinxx?0x?sinx=limx?0x2(00) =lim?xsinx?sinxx?02x?limx?02?0. （6）xlim???(??2arctanx)lnx
?2 解： xlim???(??2arctanx)lnx(0,?) ???2arctanx01?x2xlim???1(0)?xlim???1lnxxln2x=2xln2xxlim???(?1?x2)(?22lnx?1?2?)=?2xlimlnx?2lnx???2x(?xx?)??xlim???1 32 / 49
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=?2xlimlnx?1???x(??)=?21xlim???x?0.
1(7)xlim?0?(cotx)lnx
11解：lim(cotx)lnx(?0)=limelnxlncotxx?0?x?0??elimlncotxx?0?lnx
xlimlncotx?1(?csc2x)?0?lnx(?)?cotxxlim?0?1?xlim?x?0?sinx?1cosx??1 x1所以lim(cotx)lnxx?0?=e?1=
1e ?(8)lim??(cosx)2?x
x?2??lim(?2?x)lncosx解：lim2?x0?(cosx))(2?x)lncosx=limx???2x??(0??e=e
2x?2 而lim?lncosx??(?x)lncosx(0??)=lim?x??2x??1() 22??2?x1(?sinx)(??x)2=cosxsinxxlim???1??lim20?() ?x??cosx0(222?x)2(??=?lim2?x)(?1)sinx?(2?x)2cosx??x??sinx?0
2?所以lim2?x?(cosx)?e0?1
x??2(9)lim(tan?tan?2xx?14x)
???解：lim?lim(tan?x?lntan?x?124x)2tan4xx?1(tan4x)tan2x(1?)?limetanxln?e
x?1 33 / 49
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x4????4lntanxtanx??4(0)?lim4而lim(tanx?lntanx)(??0)?lim
x?1x?1x?1???024cotx?csc2x?222sec2?1??sincos2x2?44?lim??limsinx??1
x?11x?12??sin2x24??所以
cos?1lim(tanx)x?14?tanx2?1?e?1?
e2lim(arctanx)x （10）
x????解：lim(x???2?arctanx)(1)?limex???x?2xlnarctanx??ex???2limxlnarctanx?
而
x???limxln22lnarctanx(??0)?limx???2?arctanx1x?11?20x21arctanx1?x()?lim??lim(?)2x???x???101?xarctanx?2x???
所以lim(x???2?arctanx)?ex?2?
f(a?h)?2f(a)?f(a?h).
h?0h2f(a?h)?2f(a)?f(a?h)0f?(a?h)?f?(a?h)0()?lim() 解：limh?0h?002h0h2f??(a?h)?f??(a?h)?f??(a) =limh?0212.设f(x)存在二阶连续可导，求lim13．设f(x)连续可导，且f(0)?f?(0)?1，求limx?0f(sinx)?1.
lnf(x) 34 / 49
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解：因为x?0,f(x)?f(0)?1,lnf(x)?f(x)?1f(sinx)?f(0)limf(sinx)?1f(sinx)?1x?0lnf(x)?limx?0f(x)?1?limxx?0f(x)?f(0) xf(sinx)?f(0)?limsinxf?(0)x?0f(x)?f(0)?f?(0)?1x14．求下列函数的单调区间. （1）f(x)?x?sinx； 解：①f(x)的定义域为(??,??).
②f?(x)?1?cosx?0，且仅当x?(2k?1)?(k?0,?1,??????)时取等号，所以f(x)?x?sinx在(??,??)内单调增加。 （2）f(x)?x?x；
解：①f(x)的定义域为[0,??).. ②f?(x)?12x?1，令f?(x)?0，得驻点x?14， ③列表
x (0,1) 14 14 （4，??） f?(x) ? 0 ? f(x) ? ? ④结论：f(x)在??0,1?1?4??上单调增加，在(4,??)上单调减少。
（3）f(x)?2x1?x2； 解：①f(x)的定义域为(??,??).
x)?2(1?x2②f?()(1?x2)2，令f?(x)?0，得驻点x1??1,x2?1， ③列表
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