x f?(x) f(x) (-?,-1) ? ? ?1 0 (-1,1) ? ? 1 0 (1,+?) ? ? ④结论：f(x)在x?(??,?1)和x?(1,??)上单调减少。在??1,1?上单调增加。 （4）f(x)?xen?x(n?N).
解：①f(x)的定义域为(??,??).
i）当n?0时，f(x)?e?x在(??,??)上单调减少。 ii）当n为偶数且不为零时，
②f?(x)?xn?1e?x(n?x) ，令f?(x)?0，得驻点x1?0,x2?n， ③列表
x f?(x) f(x) (??,0) ? 0 (0,n) ? n (n,??) ? 0 0 ?? ? ④结论：f(x)在(??,0)和(n,??)上单调减少；在?0,n?上单调增加。 iii）当n=1时，
?x②f?(x)?e(1?x)，令f?(x)?0，得驻点x?1
③列表
x f?(x) f(x) (??,1) ? 1 (1,??) ? 0 ?? ④结论：f(x)在(??,1]上单调增加，在(1,??)上单调减少。 iv）当n为奇数且不为1时， ②f?(x)?x③列表
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n?1?xe(n?x) ，令f?(x)?0，得驻点x1?0,x2?n，
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x f?(x) f(x) (??,0) ? 0 (0,n) ? n (n,??) ? 0 0 ?? ? ④结论：f(x)在(??,n]上单调增加，在(n,??)上单调减少。 综上可得：i）当n?0时，f(x)?e?x在(??,??)上单调减少。
ii）当n为偶数且不为零时，f(x)在(??,0)和(n,??)上单调减少；在?0,n?上单调增加。 iii）当n为奇数时，f(x)在(??,n]上单调增加，在(n,??)上单调减少。
15. 设
f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内有f??(x)?0，证明：
f(x)?f(a)在(a,b)内单调增加.
x?a证：令F(x)?f?(x)(x?a)?f(x)?f(a)f(x)?f(a) x?(a,b) ，则F?(x)? 2(x?a)x?a 由f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，有f(u)在[a,x]，x?(a,b)上满足拉格朗日中值定理，因此存在??(a,x)使得
f(x)?f(a)?f?(?)
x?a 因为在(a,b)内有f??(x)?0。所以f?(x)在(a,b)内单调递增。 于是f?(?)?f?(x)(??x)，
f(x)?fa()?f?(x)(x?a )?f?(x) f(x)?f(a)x?a 即f?(x)(x?a)?f(x)?f(a)?0 得F?(x)?0 x?(a,b) 所以
f(x)?f(a)在(a,b)内单调递增
x?aarctanx；
1?x16.证明下列不等式
（1）当x?0时， ln(1?x)?证：令f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx，
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x21?ln(1?x)??0(x?0)， f?(x)?1?ln(1?x)?221?x1?x所以f(x)在(0,??)内单调增加，
故当x?0时，有f(x)?f(0)?0，(1?x)ln(1?x)?arctanx?0 即ln(1?x)?arctanx.
1?x2（2）当e?a?b?e时，ln2b?ln2a?4(b?a)； e2证：令f(x)?ln2x，，则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理，所以存在??(a,b)，使得
2ln?ln2b?ln2af(b)?f(a)f?(?)??，即.
b?a?b?alnt1?lnt,t?[e,e2]，g?(t)?， 2tt1?lnt22?0g(t)因为e?t?e，所以g?(t)?，从而在[e,e]上单调减少， 2t又令g(t)?lne22?2?2， 而e?a???b?e，所以g(?)?g(e)，?ee22ln?ln2b?ln2a2ln?44?因此?2，即ln2b?ln2a?2(b?a)
b?a?ee（3）|arcsin??arcsin?|?|???|,|?|?1,|?|?1. 证：若???,不等式显然成立. 若???，不妨设??? ， 令f(x)?arcsinx,x?(?,?) ，
易得f(x)在[?,?]上满足拉格朗日中值定理，所以在(?,?)内至少存在一点?，使得
f?(?)?f(?)?f(?) (?????)
???即
arctan??arctan?1??1，
2???1??于是arctan??arctan?????，所以|arcsin??arcsin?|?|???|，
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对于???，同理可证.
故|arcsin??arcsin?|?|???|,|?|?1,|?|?1 17．求下列函数的极值 （1）f(x)?x?ln(1?x) 解：D?(?1,??)，
f?(x)?1?f??(x)?1x，令f?(x)?0，得驻点x?0， ?1?x1?x1?x?x1， f??(0)?1?0 ?22(1?x)(1?x)所以f(x)在x?0处有极小值f(0)?0. （2）f(x)?xe 解：D?(??,??)
f?(x)?2xe?x?x2e?x?e?x(2x?x2)，令f?(x)?0 得驻点x?0,x?2，
2?xf??(x)?2(e?x?xe?x)?(2xe?x?x2e?x)?e?x(x2?4x?2)
f??(0)?2?0，f??(2)??2?0 2e?2所以f(x)有极大值f(2)?4e，极小值f(0)?0
ln2x（3）f(x)?
x解：D?(0,??)，
12lnx??x?ln2x2lnx?ln2xlnx(2?lnx)x f'(x)? ??x2x2x22令f?(x)?0，得 驻点x?1,x?e
列表
x f?(x) (0,1) ? 1 (1,e2) ? e2 0 (e2,??) ? 0 39 / 49
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f(x) ? 极小值0 ? 极大值4e ?2? 2?2f(x)有极小值f(1)?0，极大值f(e)?4e.
（4）f(x)?|x?1|
解：f(x)???x?1x??1 D?(??,??) x??1??x?1x??1??1,?f?(x)??不存在，x??1 ，使f?(x)不存在的点为x??1，
?1,x??1?列表
x f?(x) f(x) (??,?1) ? ?1 不存在 极小值f(?1)?0 (?1,??) ? ? ? f(x)有极小值f(?1)?0.
18. 若函数f(x)?ax?bx?cx?d在x??1处有极大值8，在x?2处有极小值?19，试求a,b,c,d的值.
解：f?(x)?3ax?2bx?c
由已知有f(?1)?8,f?(?1)?0,f(2)??19,f?(2)?0
232??a?b?c?d?8?3a?2b?c?0?即? 解得：a?2,b??3,c??12,d?1 ?8a?4b?2c?d??19??12a?4b?c?01?19．当a为何值时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?处取得极值，它是极大值还是极小值？并取出极
33值。
解：f?(x)?acosx?cos3x
f(x)在x?
?3
处取得极值，因而x??3是其驻点，
?af?()??1?0，得a?2. 32 40 / 49
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