数学加专项强化班-助力中考
产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%． 根据以上材料解答下列问题： （1）用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；
（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约 3471.7 亿元，你的预估理由 用近3年的平均增长率估计2016年的增长率 ． 【考点】折线统计图；用样本估计总体． 【分析】（1）画出2011﹣2015的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可． （2）设2013到2015的平均增长率为x，列出方程求出x，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率即可解决问题． 【解答】解：（1）2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，
（2）设2013到2015的平均增长率为x，
2
则2406.7（1+x）=3072.3， 解得x≈13%，
用近3年的平均增长率估计2016年的增长率，
∴2016年的增长率为3072.3×（1+13%）≈3471.7亿元．
故答案分别为3471.7，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率．
【点评】本题考查折线图、样本估计总体的思想，解题的关键是用近3年的平均增长率估计2016年的增长率，属于中考常考题型．
25．（5分）（2016?北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．
【考点】切线的性质． 【分析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
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（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE?DM，只要求出DM即可． 【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D， ∴OD⊥DE，
∵F为弦AC中点， ∴OD⊥AC， ∴AC∥DE．
（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．
首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE?DM，只要求出DM即可． ∵AC∥DE，AE=AO， ∴OF=DF， ∵AF⊥DO， ∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形， ∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a， ∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=∴平行四边形ACDE面积=
a．
2
a，
【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 26．（5分）（2016?北京）已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值： … … x 1 2 3 5 7 9 … … y 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y约为 2 ；
②该函数的一条性质： 该函数有最大值 ．
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【考点】函数的概念． 【专题】数形结合． 【分析】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可； （2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可； ②利用函数图象有最高点求解． 【解答】解：（1）如图，
（2）①x=4对应的函数值y约为2； ②该函数有最大值．
故答案为2，该函数有最大值．
【点评】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
27．（7分）（2016?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B． （1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
2
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【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）利用配方法即可解决问题．
（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题． ②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．
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【解答】解：（1）∵y=mx﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）﹣1， ∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）． （2）①∵m=1，
2
∴抛物线为y=x﹣2x，
令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0）， ∴线段AB上整点的个数为3个．
②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m=， 当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=， ∴m的取值范围为＜m≤．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 28．（7分）（2016?北京）在等边△ABC中，
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（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=20°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°， ∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°； （2）如图2，∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ，
∵点Q关于直线AC的对称点为M， ∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC， ∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°， ∴∠PAM=60°， ∵AP=AQ，
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