②△?????? 一定是钝角三角形； ③sin??:sin??:sin??=7:5:3； ④若 ??+??=8，则 △?????? 的面积是 其中正确结论的序号是 ．
则 ???? 与 ???? 所成的角的余弦值为 .
15 32
．
53. 直棱柱 ?????????1??1??1 中，∠??????=90°，??，?? 分别是 ??1??1，??1??1 的中点，????=????=????1，??=2cos??54. 已知直线 ????+????+??=0 被圆 ??: 所截得的弦 ???? 的长为 2 3，那么 ????? ???? 的值
??=2sin??
等于 ．
55. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别是 ??，??，??，已知 ?????=??，2sin??=3sin??，则
41
cos?? 的值为 ．
?56. 如图，在 △?????? 中，∠??????=120°,????=2,????=1，?? 是 ???? 上一点，????=2????，则 ????
= ． ????
3+3，则 ????2
57. 在 △?????? 中，????=2，∠??=60°，△?????? 的面积 ??=
1
= ．
58. 已知 △?????? 中，????= 3，????=1，sin??= 3cos??，则 △?????? 的面积为 ．
59. 如图，????1 与 ????1 相交于点 ??，????∥??1??1 且 ????=2??1??1．若 △?????? 的外接圆的直径为 1，则
△??1????1 的外接圆的直径为 ．
??= ．
60. △?????? 的内角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，若 cos??=，cos??=
5
4513
，??=1，则
61. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别为 ??，??，??．已知 △?????? 的面积为 3 15，?????=2，
cos??=?4，则 ?? 的值为 ．
62. 已知 △??????，若存在 △??1??1??1，满足 sin??=sin??=sin??=1，则称 △??1??1??1 是 △?????? 的一个
1
1
1
1
cos??cos??cos??
“友好”三角形．
?? 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是 ：（请写出符合要求的条件的序号）．
①??=90°,??=60°,??=30°；②??=75°,??=60°,??=45°；
第6页（共31页）
③??=75°,??=75°,??=30°．
???? 若等腰 ???????? 存在“友好”三角形，则其顶角的度数为 ． 6??sin??sin??，则 △?????? 的面积取最小值时有 ??2= ．
63. 在锐角 △?????? 中，内角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，已知 ??+2??=4，??sin??+4??sin??=64. 在 △?????? 中，??=60°，????= 3，则 ????+2???? 的最大值为 ．
65. 在平面四边形 ???????? 中，∠??=∠??=∠??=75°，????=2，则 ???? 的取值范围是 ． 66. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，若 sin??+sin??=2??，则 ∠?? 的大小
??
??
为 ．
的夹角为 π，∣ ∣ 的夹角为 2π，∣??67. 已知向量 ?? ，???? ???=?? =5，向量 ?? ??? ，?? ??? ??? ∣=2 3，∣∣∣∣33
与 ?? 的夹角正弦值为 ，∣??则 ?? ??? ??? ∣= ．
满足 ∣?? ∣=1，?? ???68. 已知非零向量 ?? ，?? 与 ?? 的夹角为 120°，则 ∣?? ∣ 的取值范围是 ． 69. △?????? 中，sin ????? =sin???sin??，?? 是边 ???? 的一个三等分点（靠近点 ??），记 sin∠??????=??，
sin∠??????
则当 ?? 取最大值时，tan∠??????= ．
70. 设点 ?? ??0,1 ，若在圆 ??:??2+??2=1 上存在点 ??，使得 ∠??????=45°，则 ??0 的取值范围
是 ．
71. 设 ??，??，?? 分别为 △?????? 三内角 ??，??，?? 的对边，面积 ??=2??2，若 ????= 2，则 ??2+??2+
??2 的最大值是 ．
72. 在锐角三角形 ?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，且满足 ??2???2=????，则 tan???
1tan??
1
1
的取值范围为 ．
73. 已知 △?????? 中，∠??，∠??，∠?? 的对边分别为 ??，??，??，若 ??=1，2cos??+??=2??，则 △??????
的周长的取值范围是 ．
74. 如图，在圆内接梯形 ???????? 中，????∥????，过点 ?? 作圆的切线与 ???? 的延长线交于点 ??．若
????=????=5，????=4，则弦 ???? 的长为 ．
则 ?? 的值为 ．
75. 在 △?????? 中，??，??，?? 分别是角 ??，??，?? 的对边，且 cos??=?2??+??，若 ??= 13，??+??=4，
????? =9，sin??=cos??sin??，??△??????=6，?? 为线段 ???? 上的点，且 76. 在 △?????? 中，已知 ????
=??????+??????，则 ???? ????? 的最小值为 ?? ． ???? ∣ ∣∣????∣????
77. 已知 ??，??，?? 分别为 △?????? 的三个内角 ??，??，?? 的对边， ??=2 ，且 2+?? sin???sin?? =
????? sin?? ，则 △?????? 面积的最大值为 ．
cos????
第7页（共31页）
满足 ∣ ∣ ???78. 已知平面向量 ?? ，?? 与 ?? 的夹角为 120°，则 ?? 的模的取值范围∣??∣=1，且 ??
为 ．
79. 在 △?????? 中，设 ??，?? 分别表示角 ??，?? 所对的边，???? 为边 ???? 上的高．若 ????=????，则 + ??
????
??
的最大值是 ．
+ =80. 在锐角三角形 ?????? 中，已知 ∠??=60°，若 ?? 是 △?????? 外接圆的圆心，且 sin??????????sin??
，则实数 ?? 的值为 ． ??????
cos??
cos??
三、解答题（共20小题；共260分）
81. 如图，在 △?????? 中，????=2，????=1，cos??=．
43
（1）求 ???? 的值；
（2）求 sin 2??+?? 的值．
82. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，已知 2cos ????? +1=4cos??cos??．
（1）求 ??；
（2）若 ??=2 7，△?????? 的面积为 2 3，求 ??+??．
83. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别为 ??，??，??．已知 ??>??，??=5，??=6，sin??=5．
（1）求 ?? 和 sin?? 的值；
（2）求 sin 2??+ 的值．
4
84. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别为 ??，??，??．已知 ??sin??=4??sin??，????=
5 ??2???2???2 ． （1）求 cos?? 的值；
（2）求 sin 2????? 的值．
85. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别是 ??，??，??．已知 ??=2，??= 2，cos??=?
（1）求 sin?? 和 ?? 的值；
（2）求 cos 2??+3 的值． 86. 在 △?????? 中，????=cos??．
（1）证明：??=??；
（2）若 cos??=?3，求 sin 4??+3 的值．
87. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对应的边分别为 ??，??，??．已知 ??sin2??= 3??sin??．
（1）求 ??；
1
π
????
cos??π
2． 4
π
3
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（2）若 cos??=，求 sin?? 的值．
3
1
88. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别为 ??，??，??．已知 △?????? 的面积为 3 15，?????=2，
cos??=?．
41
（1）求 ?? 和 sin?? 的值；
（2）求 cos 2??+6 的值．
89. 在 △?????? 中，????= 5，????=3，sin??=2sin??．
（1）求 ???? 的值；
（2）已知 ?? 为 ???? 的中点，求线段 ???? 的长．
90. △?????? 中，??，??，?? 所对的边分别为 ??，??，??，?? = 1,2 ，?? = cos2??,cos2 ，且 ?? ??? =1．
2
（1）求 ?? 的大小；
（2）若 ??+??=2??=2 3，求 △?????? 的面积并判断 △?????? 的形状．
91. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，已知 2??cos??=2??? 3??．
（1）求角 ?? 的大小；
（2）若 cos??=3，求 cos?? 的值.
92. 在 △?????? 中，内角 ??,??,?? 的对边分别为 ??，??，??，已知 ??=??，2??= 3??．
（1）求 cos?? 的值；
（2）cos 2??+4 的值．
93. 在单位正方体 ????1 中，点 ??，?? 分别是棱 ????，???? 的中点．
π2
??
π
（1）求证：??1??⊥ 平面 ????1??； （2）求三棱锥 ???????1?? 的体积；
（3）设直线 ??1??，??1??1 与平面 ????1?? 所成的角分别为 ??，??，求 cos ??+?? 的值．
94. 已知 ??，??，?? 为三角形 ?????? 的三内角，其对应边分别为 ??，??，??，若有 2??cos??=2??+?? 成立．
（1）求 ?? 的大小；
（2）若 ??=2 3，??+??=4，求三角形 ?????? 的面积．
95. 已知 △?????? 的三个内角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??．若 ??+??+??+??=??+??+??，求证：??，??，
?? 成等差数列．
96. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，设 ?? 为 △?????? 的面积，满足 4??=
3 ??2+??2???2 ． （1）求角 ?? 的大小；
1
1
3
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（2）若 1+97. ?? 是椭圆
??225
tan??tan????216
=
2????
????? =?8，求 ?? 的值． ，且 ????
+
=1 上任一点，??1，??2 分别是左右焦点，?? 是椭圆的中心．
（1）若 ????1=6，且 ?? 是 ????1 的中点，求 ???? 的长； （2）若 ∠??1????2=60°，求 △??1????2 的面积；
（3）若 ?? 1,1 ，求 ∣????∣+∣????1∣ 的最小值．
98. 己知向量 ?? = 3sin4,1 ，?? = cos4,cos24 ．记 ?? ?? =?? ??? ．
（1）若 cos
2π3
??
??
??
??? =?，求 ?? ?? =?? ??? 的值；
2
1
（2）在锐角 △?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，且满足 2????? cos??=??cos??，
求函数 ?? ?? 的取值范围．
99. 如图，四边形 ???????? 是平行四边形，平面 ??????⊥平面????????，????∥????，????=2，????=????=1，
????= 6，????=3，∠??????=60°，?? 为 ???? 的中点．
（1）求证：????∥平面??????； （2）求证：平面??????⊥平面??????；
（3）求直线 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值.
100. （1）在 △?????? 中，已知边 ????= 3，????= 2，已知角 ??=45°，求角 ??；
若该题中的条件改为边 ????= 3，????= 2，已知角 ??=60°，求角 ??；请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；
（2）??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，已知 3??cos??=??cos??+??cos??，求 ?? 的值；
（3）在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，若 ??2???2= 3????，sin??=
2 3sin??，求角 ??；
（4）在锐角 △?????? 中，??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，+=6cos??，求
??
????
??
tan??tan??
+
tan??tan??
的值．
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