答案
第一部分 1. C 3. C 6. C 8. A
2. A 4. B
【解析】此题需结合面积公式将 ∣????∣?∣????∣ 表达出来，再代入数量积公式即可． 5. C
7. B 【解析】因为 ??>??，所以 ∠??>∠??，又角 ?? 为钝角，则角 ?? 为锐角，所以只有一解． 【解析】∵8??=5??，由正弦定理得 8sin??=5sin??，又 ∵??=2??，∴8sin??=5sin2??，所以
4
7
8sin??=10sin??cos??，易知 sin??≠0，∴cos??=5，cos??=cos2??=2cos2???1=25． 9. B
【解析】因为 ??+??=2??，
73
??2+??2???2
2????
由正弦定理知，5sin??=3sin?? 可化为：5??=3??，解得 ??=??， 由余弦定理得，cos??=所以 ??=10. A
【解析】设 ????=??，由余弦定理得：cos120°=得 ??=1 或 ?4（舍），所以 ????=1． 11. D 【解析】因为 ??=2??，
所以 sin??=sin2??，即 sin??=2sin??cos??， 所以 ??=2??cos??， 又 cos??=所以
??2×3
??2+??2???2
2??????2+1?92??×1
??2+9?132????3
2π3
=?，
2
1
．
12
=?，??2?4=?3?????2+3???4=0．解
，
=，
所以 ??=2 3．
12. B 13. D 14. A 15. C
16. C 【解析】因为 ??2= ????? 2+6， 所以 ??2=??2?2????+??2+6， 即 ??2+??2???2=2?????6， 因为 ??=3， 所以 cos3=
π
??2+??2???2????
π
2?????62????
1
=
12
=2，
12
32
解得 ????=6，
则三角形的面积 ??=????sin??=×6×
=
3 32
．
2
17. C 【解析】由余弦定理得：????2=????2+????2?2??????????cos∠??????= 2 +32?2? 2?3?cos4=5，∴????= 5．
又由正弦定理可得：sin∠??????=sin∠??????，即 sin∠??????=sin∠??????=
?????
??
????
????
3
5 5π．∴sin
4
π
sin∠??????=10 10．
3
18. C 【解析】已知等式利用正弦定理化简得：?????=??+??，即 ??2???2=???????2， 所以 ??2+??2???2=????，
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所以 cos??=
π3
??2+??2???2
2????
=2，
1
因为 ?? 为三角形的内角， 所以 ??=． 19. B 20. B
【解析】（方法一）由正弦定理可得 ??=2??cos??．由余弦定理得 ??=2???以 △?????? 是等腰三角形． （方法二）sin??=2cos??sin?? ?sin ??+?? =2cos??sin??
?sin??cos??+cos??sin??=2cos??sin??
?sin??cos???cos??sin??=0?sin ????? =0. 可知 ?π
21. B 【解析】因为 ????2=????????? ，所以 ????= 3 ， 因为 ????=1，????=2，????⊥???? ，所以 ∠??????=60° . 又因为 ???? 平分 ∠??????，所以 ∠??????=∠??????=60° . 所以 ∠??????=120°，在 △?????? 中，????=2，????=1 .
所以 ????2=????2+????2?2?????????cos120°=7 ，所以 ????= 7 ， 由 ????2=?????????，所以 ????=
3 77
??2+??2???2
2????
，化简得 ??=??．所
.
??
??
22. B 【解析】双曲线的渐近线为 ??=±????，取 ??=????，双曲线的右焦点 ??,0 ，则圆心 ??,0 到 ?????????=0 的距离 ??=
???? ??2+??2=??
2+????2?????2????1122
即 ????2=??，则 ????1=2??．
在 △????1??2 中，由余弦定理得 cos∠??1????2=所以 ?2=解得 ??=
1
2?? 2+??2?4??2
2?2?????
2????1?????2
．
，
21． 3
23. A 【解析】根据题意，由正弦定理有 ??=2 3??，代入 ??2???2= 3???? 中，得 ??2=7??2．于是由余弦定理得
??2+??2???2??2+12??2?7??2 3cos??===.
2????24 3??2因此 ??=30°．
24. A 【解析】因为 3??=2??sin??，由正弦定理可得 3sin??=2sin???sin??，所以 sin??=??=3．
又因为 ??△??????=2????sin??，所以 ????=6，由余弦定理 cos??=所以 ??+?? 2=??2+??2+2????=25，??+??=5． 25. B
26. C 【解析】因为 sin??sin??=cos22，所以 sin??sin??=cos ????? =1，所以 ??=??．
第12页（共31页）
??
1+cos??2
1
??2+??2???2
2????
π
3，所以 2
，得 ??2+??2=13，
，即 2sin??sin??=1?cos ??+?? ，即
27. A 【解析】如下图所示：
假设 ????1=??，则 ????=??，??1??=4???2??． 因为 ∠??1????=60°，所以 2 2????? =??，解出 ??=
4??
，所以 ????2=3
2??3
．
在三角形 ????1??2 中，利用余弦定理可以得到 ??2=3??2，所以 e=28. D 【解析】设 ????=??，所以 ????=??，????=
2??2???2
4
32??2 3． 3
4 2 ??，????=2????=3??，故 cos??=3????2+????2?????2
2?????????
=
=，所以 sin??= 1?cos2??=
3
????????
12 23
．
6． 6
??2+??2???2
2????
由正弦定理知 sin??=?sin??=
34
×
2 23
=
29. B 【解析】由题意 ??+??=2??，cos30°=30. B
，=?????sin30°，
2
2
31
所以 ????=6，??2+??2= ??+?? 2?2????=4??2?12，解得 ??2=4+2 3，所以 ??= 3+1． ????? =?2，所以 ??????cos??=?2，所以 ????=3． 【解析】因为 ????
又因为 ??+??= 26，所以 ??2+??2=20，
由余弦定理得 ??2=??2+??2?2????cos??=16，所以 ??=4．
31. A 【解析】?? 是三角形中最小的角，则 0°<∠??≤60°，所以 ≤
21
???1??+1
<1，解得 ??≥3．
32. B 33. D 34. B 【解析】如图，
分别作高 ????，????，????．设 ????=??，则 ????=3??，????=4??． ∴????=?????????=??，????=
32
×4??=2 3??．
????
????
2 3??3
由图可得 △??????～△??????，所以 ????=????，即 在 △?????? 中，????=35. B
32
+
2 3 2
=????，所以 ????==
2 393
??
3． 2
=
39，所以 ????2
．
1
??
36. B 37. A 【解析】因为 ??sin??cos??+??sin??cos??=2??，所以 ??cos??+??cos??=2sin??，由正弦定理得 sin??cos??+sin??cos??=sin??=2sin??，可得 sin??=2，因为 ??>??，所以 ∠??>∠??，即 ∠?? 为锐角，所以 ??=6．
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π
sin??
1
38. D 【解析】A选项中角 ?? 为钝角，B选项中只能得到角 ?? 为锐角，得不出锐角三角形；C选项中角 ?? 可以是锐角，也可以是钝角；D选项中，假设三角形为钝角三角形，不妨设角 ?? 为钝角，将 tan?? 用 ?tan ??+?? 表示后展开，可以变形得到 tan??+tan??+tan??= tan??+tan?? 设不成立． 39. B 40. A
【解析】设 ??1??=??，??2??=??，??1??2=2??，由余弦定理可得 2?? 2=??2+??2?????，即 4??2=??2+??2??????①．
设 ??1 是椭圆的实半轴，??2 是双曲线的实半轴，
??=??1+??2,??+??=2??1,由椭圆及双曲线的定义可得 解出
??=??1???2.?????=2??2,
22
??????23??2+??1?4??2=0,将它们代入①，得 所以 ??1??2=?=2=1，解出 ??2= 3．
??1??23??2??1=3??2,
?tan??tan??1?tan??tan??
<0，假
第二部分 41.
43
【解析】由题意，??2=????，??=2??， 所以 ??= 2??， 所以 cos??=42. ?,
33
【解析】三角形三边中点组成的新三角形的重心和原三角形的重心重合．设重心为 ??,?? ，则 ??=
2?3?13
24
??2+??2???2
2????
??2+4??2?2??2
2??×2??
3
=
=4．
，??=
1+4?13
．
43. 30 44. 3
【解析】由正弦定理 sin??=sin??=sin?? 及 2+?? sin???sin?? = ????? sin??，得 2+?? ????? = ????? ??．
又因为 ??=2，所以 2+?? 2??? =??2?????． 所以 ??2+??2?4=????．由余弦定理得 cos??=
π
??2+??2?42????
??
??
??
=2．
12
π3
3????4
1
因为 0
21
≤ 3．故 △?????? 面积的
最大值为 3． 45.
2 393
??+??+??
??
2 393
【解析】由面积公式得 ??=4，由余弦定理得 ??= 13，则 sin??+sin??+sin??=sin??=46. 3
【解析】因为 ??=2????sin??=47. 3
1
1
3，所以 ??2
．
=1，所以 ??2=??2+??2?2????cos??=3，所以 ??= 3．
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【解析】由题意 ??=1，所以 ??+??= 2??= 2． ??△??????=2????sin??=16sin??，所以 ????=8． 所以 cos??=
??2+??2???2
2????
1
3
3
=
??+?? 2?2???????2
2????
=
2??1
3434
=3．
1
48. 等腰或直角三角形
【解析】因为 sin??+sin ????? =sin2??， 所以 sin ??+?? +sin ????? =sin2??．
所以 sin??cos??+cos??sin??+sin??cos???cos??sin??=2sin??cos??， 所以 2sin??cos??=2sin??cos??． 所以 cos?? sin???sin?? =0， 所以 cos??=0 或 sin??=sin??． 因为 0
所以 △?????? 为直角三角形或等腰三角形． 49. 1 50.
10 77
π
【解析】因为 ???? 为圆的切线，所以 ????⊥????． 因为 ∠??????=30°，????=2 3 ，所以 ????=2，????=4． 因为 ?? 是 ???? 中点，所以 ????=3，????=1．
在 △?????? 中，????=1，????=2，∠??????=120°，由余弦定理解得 ????= 7． 因为 ?????????=?????????，所以 ????=51.
3 32
3 77
10 77
，所以 ????=????+????=．
【解析】设 ????=??，在 △?????? 中，由余弦定理知 ????2=????2+????2?2?????????cos??， 即 7=??2+4?2×2×??×cos60°，即 ??2?2???3=0，又 ??>0，所以 ??=3． 所以 ??△??????=×3×2×
21
32
3 32
=．
52. ②③
【解析】由 ??+?? : ??+?? : ??+?? =4:5:6，可设 ??=7??，??=5??，??=3??（??>0），即边长不确定， ∴①不正确． ∵cos??=
5?? 2+ 3?? 2? 7?? 2
2×5??×3??
<0，
∴②正确．
∵sin??:sin??:sin??=??:??:??=7:5:3， ∴③正确．
∵cos??=?2，sin??=53. 10
301
3，若 ??2
15 34
+??=8，不妨设 ??=5，??=3，??=7，则 ??△??????=
．∴④不正确．
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