【解析】直三棱柱 ?????????1??1??1 中，∠??????=90°，??，?? 分别是 ??1??1，??1??1 的中点．
如上图所示，取 ???? 的中点为 ??，连接 ???? 、 ????，
因为 ??，?? 分别是 ??1??1，??1??1 的中点，所以 ????∥??1??1 且 ????=??1??1．
21
1
又因为 ????∥??1??1 且 ????=2??1??1，所以 ????∥???? 且 ????=????，所以 ???????? 是平行四边形，所以 ???? 与 ???? 所成角就是 ∠??????．
不妨设 ????=????=????1=2，则 ????=1，????= 5，????= 5，????= 2+4= 6． 在 △?????? 中，由余弦定理得：??????∠??????=54. ?2
【解析】圆的方程可化为：??2+??2=4，圆心 ?? 0,0 ，??=2．
又因为 ????=2 3，利用余弦定理可知 ∠??????=120°，所以 ????? ????=∣ ????∣∣ ????∣cos120°=?2． 55. ?4 【解析】因为 2sin??=3sin??，则由正弦定理，得 2??=3??，即 ??= 所以 cos??=56. ? 38
??2+??2???2
2????
3??2
1
????2+????2?????2
2?????????
6 30． 10
=2 5× =6，再结合已知，得 ??=2??，
=
92
??+??2?4??24
3??2=?4．
1
57. 6 58. 59. 2
1
【解析】提示：由正弦定理知：sin∠??????=2??1，sin∠??
32
????
????1
1????1
=2??2．（其中 ??1、??2 分别为 △?????? 、
△??1????1 的外接圆的半径）．所以 2??2=
1
2??
??1??1????
=2．
60. 13
21
【解析】在 △?????? 中，因为 cos??=，cos??=sin ??+?? =sin??cos??+sin??cos??=×
553
513
4513
，所以 sin??=，sin??=
5
45
6365
31213
．所以 sin??=
??
+
1213
×=．由正弦定理
??
sin??
=
sin??
，可得 ??=
??sin??sin??
=
1×65×3=13． 61. 8
【解析】由 ??=2????sin??=3 15，得 ????sin??=6 15，而 cos??=?4，所以 sin??=
1
1
15，所以 ????4
63521
=24，
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所以 ??2=??2+??2?2????cos??=??2+??2+所以 ??=8． 62. ②，45°
????2
= ????? 2+2????+
????2
= ????? 2+
5????2
=4+2×24=64，
5
【解析】提示：由定义检验 ?? 中即得 ② 为“友好”三角形；若等腰三角形存在“友好”三角形，不防设顶角 ?? 为 ??，则 ??，?? 均为 90°?2 .它的“友好”三角形对应的角分别为它的角的余角或是余角的补角．根据题意列方程分类讨论． 63. 5?
4 53
??
2
2
??2+4??26????
【解析】由 ??sin??+4??sin??=6??sin??sin??，得 ??+4??=6????sin??，即 sin??=
??△??????
1??2+4??2 ??+2?? 22=????sin??=≥=, 2122432
，所以
当且仅当 ??=2??，即 ??=2，??=1 时等号成立，此时 sin??=3，则 cos??=
??2=??2+??2?2????cos??=5?
64. 2 7 【解析】由正弦定理，知 因为 ??+??=120°， 所以
????+2????=2sin??+4sin 120°???
=2 sin??+2sin120°cos???2cos120°sin?? =2 sin??+ 3cos??+sin?? =2 2sin??+ 3cos?? =2 7sin ??+?? .
其中 tan??=
3，?? 是第一象限的角． 2
°
????sin??
5，所以 3
4 5. 3=
3sin60°=
????sin??
，
所以 ????=2sin??，????=2sin??．
因为 0°
【解析】延长 ????，????，交于点 ??2，作 ????1∥???? 交 ???? 于点 ??1，则 ????1
在 △??1???? 中 sin∠????
????
1
1
=sin∠??????，求得 ????1= 6? 2； ??
1
????
2
在 △??2???? 中，sin∠??????=sin∠??，求得 ????2= 6+ 2．
2
????????
所以，???? 的取值范围为 6? 2, 6+ 2 ．
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66. 4
3
67. ，4+ 3 或 37?16 3 5
π
，???? =?? =?? =??【解析】设 ???? ，???? ，画图如下．
的夹角为 π，∣ ∣ 与 ???? 夹角为 因为 ?? ，???? ??? ∣=5，所以 △?????? 为等边三角形，????=5，又 ????∣=∣??3∣
2π3
，????=2 3，在 △?????? 中，由正弦定理得
3
????sin∠??????
=
????
2πsin
3
3
与 ?? 的，解得 sin∠??????=，即 ?? ??? ???
5
2π3
夹角正弦值为 5．设 ????=??，在 △?????? 中，由余弦定理得 25=12+??2?4 3?cos
π
π
4±3 310
2
，解得 ??=4?
3 或 ?4? 3 舍 ．因为点 ?? 可能在 △?????? 外面或 △?????? 内，所以 ∠??????=3+∠?????? 或 ∠??????=?∠??????，所以 cos∠??????=3
4±3 310
，在 △?????? 中，由余弦定理得 ∣?? ∣=25+ 4? 3 ?2×5×
2
4? 3 ×68. 0,
2 33
=19+8 3或37?16 3，即 ∣?? ∣=4+ 3或 37?16 3．
2
??? ，且 ?? ∣【解析】方法一：设 ?? =?? ，则 ?? +?? =?? ,?? 的夹角为 120°． ?? +?? 2=∣∣??∣=1，即 ∣?∣?? ∣∣?? ∣+∣?? ∣=1， ∣??
若要使这个关于 ∣?? ∣ 的一元二次方程 有正数解，则需 ∣?? ∣?4∣?? ∣+4≥0，∣?? ∣>0，解得 ∣?? ∣ 的取值范围为 0,
2 33
2
2
2
2
．
，????=?? ??? ???方法二：做平行四边形 ????????，设 ????=?? ，则 ????=?? ，因为 ?? 与 ?? 的夹角为 120°，所以 ∠??????=60°，在 △?????? 中，由正弦定理得 sin60°=sin∠??????，所以 ∣?? ∣= 0,120° ，所以 ∣?? ∣∈ 0,
2 33
∣∣??
∣∣??
sin∠??????sin60°，因为 ∠??????∈
．
69. 2+ 3 【解析】因为 sin ????? =sin???sin??， 所以
sin??cos???cos??sin??
=sin???sin??
=sin??cos??+cos??sin???sin??.
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所以 sin??=2cos??sin??， 因为 sin??≠0，
所以 cos??=，由 ??∈ 0,π ，可得：??=，
2
3
1
π
在 △?????? 中，由正弦定理可将 sin∠??????=??，变形为 ????=??，即 ????=??????=3????， 因为
????
+ =????????
1 +???? =????
31 + ???? +???? =????
321 +???? ,=????33sin∠??????????1
2
+1???? ，即 ??2??2=4??2+??2+2????,???① 所以 ????2= ????
3
3
2
在 △?????? 中，由余弦定理得：??2=??2+??2?????,???② 由 ①② 得 ??=
2
4++2????
????????+?1????，令 =??，??=?? ?? =
??
??
2
4??++21??1??+?1??=
4??2+2??+1??2???+1
，??? ?? =
?6??2+6??+3
， ??2???+1 2
令 ??? ?? =0，得 ??=即 =
????
1+ 3， 2
1+ 3 时，?? 最大． 2
3 2? 62??sin??
结合 ② 可得 ??= 3?1 ??，??=在 △?????? 中，由正弦定理得
??sin??
??，
6+ 2，?4
=?sin??=tan??=2+ 3．
70. ?1,1 【解析】解法一：
当 ??0=0 时，?? 0,1 ，由圆的几何性质得在圆上存在点 ?? ?1,0 或 ?? 1,0 ，使 ∠??????=45°．当 ??0≠0 时，过 ?? 作圆的两条切线，切点为 ??，??． 若在圆上存在 ??，使得 ∠??????=45°，
应有∠ ??????≥∠??????=45°，所以 ∠??????≥90°，所以 ?1≤??0<0 或 0
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解法二：
过 ?? 作 ????⊥????，?? 为垂足，????=?????sin45°≤1 ，
2
所以 ????≤sin45°，所以 ????2≤2，所以 ??0+1≤2， 2所以 ??0≤1，所以 ?1≤??0≤1．
1
71. 4 72. 1,
2 33
【解析】因为 ??2???2=????，
所以 ??2=??2+??2?2????cos??=??2+????， 所以 ??=2??cos??+??，
所以 sin??=2sin??cos??+sin??，
因为 sin??=sin ??+?? =sin??cos??+cos??sin??， 所以 sin??=cos??sin???sin??cos??=sin ????? ， 因为三角形 ?????? 为锐角三角形， 所以 ??=?????， 所以 ??=2??， 所以 ??=π?3??， 所以
0<2??<,
2
ππ
π
0<π?3??<,
π2ππ
所以 ??∈ , ，??∈ , ，
6432所以 tan???tan??=因为 ??∈ 3,2 ， 所以 sin??=
1
3,1 ， 22 33
ππ1
1
sin ????? sin??sin??
=sin??，
1
所以 sin??= 1,
1
1
，
2 33
所以 tan???tan?? 的范围为 1,73. 2,3
．
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