典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A?2，0?为长轴端点时，a?2，b?1，
x2y2?1； 椭圆的标准方程为：?41（2）当A?2，0?为短轴端点时，b?2，a?4，
x2y2?1； 椭圆的标准方程为：?416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a21?2? ∴3c2?a2， 解：?2c?c3∴e?13． ?33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，
OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x2解：由题意，设椭圆方程为2?y2?1，
a?x?y?1?0?222由?x2，得??1?ax?2ax?0， 2?2?y?1?ax1?x21?a21?2，yM?1?xM?∴xM?，
1?a22a?kOM?yM11?2?，∴a2?4， xMa4x2∴?y2?1为所求． 4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
x2y?9?例4椭圆? 0?的距离成等差数列．?1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，259?5?2（1）求证x1?x2?8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：（1）由椭圆方程知a?5，b?3，c?4． 由圆锥曲线的统一定义知：
AFa2?x1c?4c，∴ AF?a?ex1?5?x1．
5a同理 CF?5?49x2．∵ AF?CF?2BF，且BF?， 554??4?18?∴ ?5?x1???5?x2??，即 x1?x2?8．
5??5?5??y?y2?（2）因为线段AC的中点为?4，1?，所以它的垂直平分线方程为
2?? y?y1?y2x1?x2?x?4?． ?2y1?y22y12?y2又∵点T在x轴上，设其坐标为?x0， 0?，代入上式，得 x0?4?2?x1?x2?又∵点A?x1，y1?，B?x2，y2?都在椭圆上，
925?x12 25922?25?x2 y2 2592???x1?x2??x1?x2?． ∴ y12?y225∴ y12?????将此式代入①，并利用x1?x2?8的结论得x0?4??36∴ kBT259?055??．
4?x04典型例题五
x2y例5 已知椭圆?问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN?1，F1、F2为两焦点，
432是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M存在，设M?x1，y1?，由已知条件得
a?2，b?3，∴c?1，e?1． 2∵左准线l的方程是x??4， ∴MN?4?x1．
又由焦半径公式知：
11MF1?a?ex1?2?x1，MF2?a?ex1?2?x1．
221??1?2?2∵MN?MF1?MF2，∴?x1?4???2?x1??2?x1?．
2??2??整理得5x12?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??12． ① 5另一方面?2?x1?2． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cos?，3sin?存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
x2?11?例6 已知椭圆?y2?1，求过点P?，?且被P平分的弦所在的直线方程．
2?22???分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y?11???k?x??．代入椭圆方程，并整理得 22???1?2k?x??2k22213?2kx?k2?k??0．
22?2k2?2k由韦达定理得x1?x2?． 21?2k1∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??．
2所以所求直线方程为2x?4y?3?0．
y?y?x2，y2?，x2、y1、y2的方程组，分析二：设弦两端坐标为?x1，y1?、列关于x1、从而求斜率：12．
x1?x2
?11?解法二：设过P?，?的直线与椭圆交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，则由题意得
?22??x122??y1?1，?22?x22??y2?1，?2?x1?x2?1，??y1?y2?1.①② ③④2x12?x22?y12?y2?0． ⑤ ①－②得2将③、④代入⑤得
1y1?y21??，即直线的斜率为?．所求直线方程为2x?4y?3?0．
2x1?x22说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
?6?； （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点?2，（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
x2y2分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由2?2?1求出a2?148，b2?37，
abx2y2y2x2??1后，不能依此写出另一方程??1． 在得方程
1483714837x2y2y2x2解：（1）设椭圆的标准方程为2?2?1或2?2?1．
abab由已知a?2b． ①
?6?，因此有 又过点?2，?22??6??6?22?2?1或2?2?1． ② a2bab22由①、②，得a2?148，b2?37或a2?52，b2?13．故所求的方程为
x2y2y2x2??1或??1． 148375213
x2y2x2y22?1．（2）设方程为2?2?1．由已知，c?3，b?c?3，所以a?18．故所求方程为?
ab189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，
x2y2y2x2若不能确定，应设方程2?2?1或2?2?1．
abab典型例题八
x2y2?1的右焦点为F，过点A1例8 椭圆?，3，点M在椭圆上，当AM?2MF为最小值时，
1612??求点M的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e?般地，求AM?1MF均可用此法． e1，右准线21，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一2解：由已知：a?4，c?2．所以e?l：x?8．
过A作AQ?l，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ?2MF．显然yM?3，且M在
AM?2MF的最小值为AQ，即M为所求点，因此椭圆上．故xM?23．所以M23，3．
说明：本题关键在于未知式AM?2MF中的上，如图，e???“2”的处理．事实
1，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，2使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
x2例9 求椭圆?y2?1上的点到直线x?y?6?0的距离的最小值．
3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
?x?3cos?，解：椭圆的参数方程为?设椭圆上的点的坐标为
?y?sin?.?3cos?，sin?，则点到直线的距离为
?d????2sin?????63cos??sin??6?3?． ?22???当sin??????1时，d最小值?22．
?3?说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十