例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e?3?3?，已知点P?0，?到这个椭圆上的2?2?点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注
意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
x2y2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2?2?1，其中a?b?0待定．
abc2a2?b2b2?1?2可得 由e?2?2aaa2b31?1?e2?1??，即a?2b． a42设椭圆上的点?x，y?到点P的距离是d，则
3?y2?9?2?2?d?x??y???a?1??y?3y? ?b2?2?4???22291?? ?4b2?3y2?3y???3?y???4b2?3
42??其中?b?y?b． 如果b?1，则当y??b时，d2（从而d）有最大值． 22由题设得
???7?3113??7??b??，由此得b?7??，与b?矛盾．
2222??22因此必有b?由题设得
11成立，于是当y??时，d2（从而d）有最大值． 222?4b2?3，可得b?1，a?2．
x2y2?1． ∴所求椭圆方程是?4111?1????3?由y??及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??3，??，点?3，??到点P?0，?的距离是7．
22?2????2??x?acos?解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是?，其中a?b?0，待定，0???2?，
y?bsin???为参数．
2由e2?c2a2?b2?b?a2?a2?1???a??可得
ba?1?e2?1?314?2，即a?2b． 设椭圆上的点?x，y?到点P??3??0，2??的距离为d，则
22d2?x2????y?3?2???a2cos2?????bsin??3?2??
?4b2?3b2sin2??3bsin??94
2 ??3b2???sin??1?2b???4b2?3
如果
1?1，即b?12，则当sin???1时，d22b（从而d）有最大值． 由题设得
?7?22????b?3?2??，由此得b?7?31112?2，与b?2矛盾，因此必有
2b?1成立． 于是当sin???12b时d2（从而d）有最大值． 由题设知
?7?2?4b2?3，∴b?1，a?2．
∴所求椭圆的参数方程是??x?2cos?y?sin?．
?由sin???13?1??1?2，cos???2，可得椭圆上的是???3，?2??，??3，?2??．
典型例题十一
例11 设x，y?R，2x2?3y2?6x，求x2?y2?2x的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x2?3y2?6x与椭圆方程的结构一致．设
x2?y2?2x?m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x2?3y2?6x，得
?3?2 ??x?2?2???y?1 ?9?3?4??2
?3?可见它表示一个椭圆，其中心在?，0?点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
?2?设x2?y2?2x?m，则 ?x?1?2?y2?m?1
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m?1?m??1?．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即
m?1?1，此时m?0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m?1?4，∴m?15． ∴x2?y2?2x的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
x2y2例12 已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?，A、B是其长轴的两个端点．
ab（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP?，求证：不论a、b如何变化，?APB?120?． （2）如果椭圆上存在一个点Q，使?AQB?120?，求C的离心率e的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从?APB和?AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭
a222ay22??3，将x?a?2y代入，圆的固有性质：x?a，y?b，根据?AQB?120得到222bx?y?a?消去x，用a、b、c表示y，以便利用y?b列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
0?，A??a，0?，B?a，0?． 解：（1）设F?c，?x?c?b2? ?22 ?P?c，?2222???a??bx?ay?ab于是kAPb2b2?，kBP?． a?c?a?a?c?a?
b2b2?2a2a?c?a?a?c?a???2 ∵?APB是AP到BP的角．∴tan?APB?4bc1?22ac?a2??∵a2?c2∴tan?APB??2 故tan?APB??3 ∴?APB?120?． （2）设Q?x，y?，则kQA?yy，kQB?． x?ax?a由于对称性，不妨设y?0，于是?AQB是QA到QB的角．
yy?2ay?a?∴tan?AQB?x?ax 2222yx?y?a1?2x?a2∵?AQB?120?， ∴
2ay??3
x2?y2?a222?a2?2a22整理得3x?y?a?2ay?0∵x?a?2y∴3?1?2???y?2ay?0 bb???222?2ab22ab2∵y?0， ∴y? ∵y?b， ∴?b 223c3c2ab?3c2，4a2a2?c2?3c2 ∴4c4?4a2c2?4a4?0，3e4?4e2?4?0 ∴e2?36或e2??2（舍），∴?e?1． 23??典型例题十三
x2y21??1的离心率e?，求k的值． 例13 已知椭圆
2k?89分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2?k?8，b2?9，得c2?k?1．由e?当椭圆的焦点在y轴上时，a2?9，b2?k?8，得c2?1?k．
11?k15?，即k??． ，得
29445∴满足条件的k?4或k??．
4说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k?8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可
1，得k?4． 2由e?能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
x2y2例14 已知椭圆2?2?1上一点P到右焦点F2的距离为b(b?1)，求P到左准线的距离．
4bb分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
x2y23解法一：由2?2?1，得a?2b，c?3b，e?．
24bb由椭圆定义，PF1?PF2?2a?4b，得
PF1?4b?PF2?4b?b?3b． 由椭圆第二定义，
PF1ePF1d1?e，d1为P到左准线的距离，
∴d1??23b，
即P到左准线的距离为23b． 解法二：∵
PF2d2PF2e?e，d2为P到右准线的距离，e?c3， ?a2∴d2?23a283?b．又椭圆两准线的距离为2??b． 3c38323b?b?23b． 33∴P到左准线的距离为
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
?x?4cos?,?例15 设椭圆?(?为参数)上一点P与x轴正向所成角?POx?，求P点坐标．
3?y?23sin?.分析：利用参数?与?POx之间的关系求解． 解：设P(4cos?,23sin?)，由P与x轴正向所成角为∴tan?， 3?3?23sin?，即tan??2．
4cos?45415525，sin??，∴P点坐标为(,)． 5555而sin??0，cos??0，由此得到cos??典型例题十六
x2y2例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆2?2?1 (a?b?0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点
ab