F2的距离分别为r1和r2，求证：r1?a?ex0，r2?a?ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．
PF1a2a2解：P点到椭圆的左准线l：x??的距离，PQ?x0?，由椭圆第二定义，?e，
ccPQ∴r1?ePQ?a?ex0，由椭圆第一定义，r2?2a?r1?a?ex0．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．
典型例题十七
x2y2?1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．例17 已知椭圆?
95(1) 求PA?PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标；
3PF2的最小值及对应的点P的坐标． 2分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
(2) 求PA?
解：
(1)如上图，2a?6，F2(2,0)，AF2?2，设P是椭圆上任一点，由PF1?PF2?2a?6，∴PA?PF等号仅当PA?PF2?AF2时PA?PF2?AF2，1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，成立，此时P、A、F2共线．
由PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等号仅当
PA?PF2?AF2时成立，此时P、A、F2共线．
?x?y?2?0,建立A、F2的直线方程x?y?2?0，解方程组?2得两交点 25x?9y?45?915515915515P2,?2)、P2(?2,?2)． 1(?714714714714综上所述，P点与P1重合时，PA?PF2重合时，PA?PF1取最小值6?2，P点与P2取最大值
6?2．
(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a?3，c?2，∴e?椭圆第二定义知
2．由3PF2PQ?e?332，∴PQ?PF2，∴PA?PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、
223P、Q共线，即求A到右准线距离．右准线方程为x?9． 27∴A到右准线距离为．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐
2
标(165,1)．说明：求PA?PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧
e5用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
x2y2?1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆?94(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
?x?3cos?解：(1) ?(??R)．
y?2sin??(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设(3cos?,2sin?)
?为矩形在第一象限的顶点，(0???)，
2则S?4?3cos??2sin??12sin2??12 故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且?F1PF2?60?． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证?PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
x2y2??1（a?b?0），P(x1,y1)（y1?0）． a2b2思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60??KPF2?KPF11?KPF2KPF122?3，设P(x1,y1)，
xyF1(?c,0)，F2(c,0)，化简可得3x?3y?2cy1?3c?0．又12?12?1，两方程联立消去x12得
ab212123c2y1?2b2cy1?3b4?0，由y1?(0,b]，可以确定离心率的取值范围；解出y1可以求出?PF1F2的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF1F2中运用余弦定理，求x1，再利1?a?ex1，PF2?a?ex1，在?PF用x1?[?a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出?PF 1F2的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1?PF2?2a求解．
x2y2解：(法1)设椭圆方程为2?2?1（a?b?0），P(x1,y1)，F1(?c,0)，F2(c,0)，c?0，
ab2则PF1?a?ex1，PF2?a?ex1． 在?PF1F2中，由余弦定理得
1(a?ex1)2?(a?ex1)2?4c2， cos60???22(a?ex1)(a?ex1)4c2?a2解得x1?．
3e22(1)∵x12?(0,a2]，
4c2?a2?a2，即4c2?a2?0． ∴0?23e∴e?c1?． a21故椭圆离心率的取范围是e?[,1)．
24c2?a2x2y2(2)将x1?代入2?2?1得
ab3e22b4b2y1?2，即y1?．
3c3c2∴S?PF1F211b232?F1F2?y??2c??b． 2233c即?PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设PF2F1??，?PF1F2??， 1?m，PF2?n，?PF则????120?．
(1)在?PF1F2中，由正弦定理得
mn2c??． sin?sin?sin60?∴
m?n2c?
sin??sin?sin60?∵m?n?2a， ∴
2a2c?，
sin??sin?sin60?∴e?csin60?sin60? ????????asin??sin?2sincos2211??．
???22cos2当且仅当???时等号成立．
1故椭圆离心率的取值范围是e?[,1)．
2(2)在?PF1F2中，由余弦定理得：
(2c)2?m2?n2?2mncos60?
?m2?n2?mn ?(m?n)2?3mn ∵m?n?2a，
∴4c2?4a2?3mn，即mn?∴S?PF1F2?424(a?c2)?b2． 33132mnsin60??b． 23即?PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1?PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
x2y2例20 椭圆2?2?1(a?b?0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP?AP(Oab为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP?AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
?x?acos?解：设椭圆的参数方程是?(a?b?0)，
y?bsin??则椭圆上的点P(acos?,bsin?)，A(a,0)， ∵OP?AP，∴
bsin?bsin????1，
acos?acos??a22b2即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??2，
a?b2222b2222?1b?a?c∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?2，又 2a?ba2∴0?2?2，
c∴e?22，又0?e?1，∴?e?1． 222,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP?AP．如何证明？ 2说明：若已知椭圆离心率范围(