习题一
1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
∵
.
①
解
∴
．
,
③解： ∵
②解： ③
解
：
∴,
④解：
2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
④解： ∵
．
R);
① ： ∵设z=x+iy
则
∴,
⑤解： ∵
．
．
∴
,
②解： 设z=x+iy
．
3.求下列复数的模和共轭复数
．
∴当
当
时，
时，
，
； ，
①解：．
②解：
③
解：．
④解：
4、证明：当且仅当时，z才是实数． 证明：若，设
，
则有
，从而有，
即y=0
∴z=x为实数． 若z=x，x∈?，则．
∴
．
命题成立．
5、设z,w∈?，证明：
证
明
∵
∴
．
6、设z,w∈?，证明下列不等式．
并给出最后一个等式的几何解释． 证明：
在上面
第五题的证明已经证明了．
下面证．
∵
．从而得
证．
∴
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
①解：
其
中
．
②解：
其中
．
③解：
⑶
的平方根．
解：
④解：
.
∴
∴
⑤解：
∴
解：∵．
．
设
证明：∵
∴
∴
，即
．
.
证
明
：
∴
9.
8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)
的平方根.
⑴i的三次根． 解：
又∵n≥2． ∴z≠1 从而
∴
11.
．
设
是
圆令
周
⑵-1的三次根 解：
,
其中于
.求出
在a切于圆周
的关
的充分必要条件.
解：如图所示．
∴
因为={z: =0}表示通过
点a且方向与b同向的直线，要使得直线在
a处与圆相切，则CA⊥
．过C作直线平
行，则有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90°
所以
在α处切于圆周T的关于β的
充要条件是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=．
(3)、1<|z+i|<2
解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z)>Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面
5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二
1. 求映射下圆周的像.
解：设则
因为,所以
所以 ,
所以即，表示
椭圆. 2. 在映射
下，下列z平面上的图形
映射为w平面上的什么图形，设
或
.
（1）； （2）
;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设
所以
(1) 记，则映射成w
平面内虚轴上从O到4i的一段，即
(2) 记，则映成
了w平面上扇形域，即
(3) 记
，则将直线x=a映成了即
是以
原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了
即
是以原点为焦点，张口
向右抛物线如图所示.
3. 求下列极限.
(1)
;