(3)
(4)
(2)
(5)
(6)
(3)
19. 求解下列方程 (1) sinz=2． 解：
18. 计算下列各值 (1)
(2)解：
(2)
(3)
解：
即
即
(4)解
：
21. 证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明：
．
20. 若z=x+iy，求证
(1) sinz=sinxchy+icosx?shy 证明：
∴而
(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy 证明：
当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．
当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞． 同理得
所以当y→∞时有|cosz|→∞．
习题三
1. 计算积分 到点1+i的直线段.
,其中C为从原点
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明：
解 设直线段的方程为
故
,则.
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y 证明：
2. 计算积分，其中积分路径C为 (1) 从点0到点1+i的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段. 解 (1)设
(2)设
.
.
故
7. 计算积分
3. 计算积分
，其中积分路径C为
为 （1）
（4）
解 (1)设
.
解：（1）在
只有一个奇点
(2)设
. 从
到
（2）在
.故
(3) 设
. 从
到
（3）在
6. 计算积分为解
∵∴从而
在
(1)
,其中积分路径
(1) 从点-i到点i的直线段;
(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;
(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.
（2） （3）
所围的区域内，.
所围的区域内包含三个奇点
所围的区域内包含一个奇点
,故
,其中
.
（4）在
所围的区域内包含两个奇点,故
所围的区域内解析
10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.
(2)
(3)
(4)
解 (1)
(5) (6)
(2)
(3)
16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. (1)
(2)
(3)
(4)
解 (1)
(5)
(2)
(6)
(3)
11. 计算积分(1)
解 (1)
(2)
,其中为
(3)
17. 计算积分路径为
(1)中心位于点周
(2) 中心位于点圆周
,其中积分
,半径为,半径为
的正向圆的正向
(2)
(3)
解：(1)
内包含了奇点
∴
(2) 内包含了奇点
,
∴
19. 验证下列函数为调和函数.
解(1) 设
,
∴
从而有
,
满足拉普拉斯方程,从而是
调和函数.
(2)
设
,
∴
从而有
,
满足拉普拉斯方程,从而
是调和函数.
,满足拉普拉斯方程,从而
是调和函数.
20.证明:函数,都
是调和函数,但不是解析函数
证明:
∴
,从而是调和函数.
∴,从而是调和函数.
但∵
∴不满足C-R方程,从而不是
解析函数.