在内的罗朗展开式为
解：
在0<|z|<+∞的罗朗展开式为
28.如果C为正向圆周，求积分
的值 ∴(2)
解：
在0<
在z=1处．
(1)
| <+∞的罗朗展开式为
(2)
∴
．
解：（1）先将展开为罗朗级数，得
2. 利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留数．
而
=3在
内，
,故
(1)
解：的有限孤立奇点处有
z=0，z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一
级极点． ∴
内处处解
(2)在
析，罗朗展开式为
3. 利用罗朗展开式求函数∞处的留数．
而
=3在
内，
,故
解：
在
习题五
1. 求下列函数的留数．
∴
(1)
在z=0处．
从而
5. 计算下列积分． (1)正向．
令则有
，n为正整数，c为|z|=n取
设
．
则
解：
为在c内tanπz有
(k=0,±1,±2?±(n-1))一级
极点
被积函数
只有一个简单极点但
在|z|=1内
由于∴
(2) 向．
c:|z|=2取正
所以
在c内有z=1，
又因为
解：因为
z=-i两个奇点．
所以
∴
(2) 解：令
6. 计算下列积分．
，|a|>1．
(1)
令z=e．
iθ
因被积函数为θ的偶函数，所以
，则
解：
而考知
，则R(z)在上半平
面有z=bi一个二级极点．
得
(3)，a>0，b>0．
解：令，被积函数
从而
R(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib．故
(6) ，a>0
解：令一个一级极点
，在上半平面有z=ai
（4）. ，a>0．
7. 计算下列积分
解：
(1)
令
的二级极点 故
，则z=±ai分别为R(z)
解：令，则R(z)在实轴上
有孤立奇点z=0，作以原点为圆心、r为半
径的上半圆周cr，使CR,[-R, -r], Cr,[r, R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i, 于是：
而
(5)
．
，β>0，b>0．
故：
(1)
(
，为实数)
解：
．(2)
，其中T为直线Rez=c,
,
c>0, 0
解：在直线z=c+iy (-∞< y <+∞)上，令
所以
，
，
.
收敛，所以
(2)
积分
是存在的，并且
解：
其中AB为复平面从c-iR到c+iR的线段． 考虑函数f(z)沿长方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的积分．＜如下图＞
将映成直线
(k为实数)
故将映成直线.
2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）解：
且
所以由留数定理．
所以故
而
.
. 将
映成；
因为f(z)在其内仅有一个二级极点z=0，而
．
习题六
(2) Re(z)>0. 0 . 1. 求映射 下，下列曲线的像. Re(w)>0. Im(w)>0. 若w=u+iv, 则 因 为 0 则 故 将Re(z)>0, 0 Re(w)>0,Im(w)>0, (以（,0） 为圆心、 为半径的圆) 3. 求w=z2 在z=i处的伸缩率和旋转角，问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图. 解：因为 =2z,所以 (i)=2i, | |=2, 旋转角arg = . 于是, 经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示. → 4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗？ 答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质. 5. 求将区域0 的一般形式. 6. 试求所有使点 不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为(ad-bc0)由 .得 因为 , 即 , 由代入上式，得. 因此 令，得 其中a为复数. 反之也成立，故所求分式线性映射为 ， a为复数.