所以
11.设级数
收敛，而
发散，证明
的收敛半径为1
证明：因为级数收敛
设
若
的收敛半径为1
则
现用反证法证明
若则，有，即收敛，与条件矛盾。
若则，从而在单位圆
上等于，是收敛的，这与收敛半径的
概念矛盾。
综上述可知，必有
，所以
12.若
在点处发散，证明级数对于所有满足
点
都发散.
证明：不妨设当
时，在
处收敛
则对
，绝对收敛，则
在
点
处收敛
所以矛盾,从而
在
处发散.
13.用直接法将函数在
点
处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收
敛半径.
解:因为
奇点为
所以
又
(1) (2) (3)
分别在在在
处
和处
处
于是，有展开式
(4) (5)
14.用直接法将函数点处展开为泰勒级数,(到
在
项)
解：
又
(3)
(4)
为
的奇点，所以收敛半径
(2)
解 （1）
在
在
处 处
于是，
在
处的泰勒级数为
(5)因为从
15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，
并指出其收敛性.
沿负实轴
不解
析
,收敛半径为R=1 所以
16.为什么区域
内解析且在区间
展开成
的
所以,代入可得
取实数值的函数
幂级数时，展开式的系数都是实数？ 答：因为当
取实数值时，
与
的
20.有人做下列运算,并根据运算做出如下
结果
泰勒级数展开式是完全一致的，而在
内，
所以在系数是实数.
的展开式系数都是实数。内，
的幂级数展开式的
17.求的以为中心因为,所以有结果
的各个圆环域内的罗朗级数. 解:函数三个以分别为：
答:不正确,因为求
要
有奇点
与
,有
你认为正确吗?为什么?
为中心的圆环域,其罗朗级数.
而
19.在罗朗级数.
内将
展开成
要求
所以,在不同区域内
则
21.证明:
用z的幂表示
解:令
的罗朗级数展开式中的系数为
而
在
内展开式为
证明:因为和是的从而不是的孤立奇点.
23. 用级数展开法指出函数
奇点，所以在罗朗级数为
内，
的
解：
在
处零点的级.
其
中
故z=0为f(z)的15级零点 24. 判断
其中C为曲线.
内任一条绕原点的简单
⑴
； ⑵
是否为下列函数的孤立奇
点，并确定奇点的类型：
解: 因为
是的孤立奇点
所以
22.
是函数
的孤立奇
点吗?为什么?
(2)因为
是
的本性奇点.
解: 因为的奇点有
所以在
的任意去心邻域，总包括奇点
所以是的可去奇点.
25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：
，当时，z=0。
⑴
⑵ ⑴
⑵
⑶
⑶
解:
(1)
解: (1)当时,
所以 ,
是的可去奇点.
所以是奇点,是二级极点.
(2)因为
解: (2)
是奇点,是一级极点,0是二级
极点. 解: (3)
所以,
是
的本性奇点.
(3) 当时,
是的二级零点 所以,
是的可去奇点.
而
是
的一级零点,
27. 函数
在处有一
是
的一级零点
个二级极点，但根据下面罗朗展开式：
所以
是的二级极点,
. 我们得到“
又是
的本性奇点”，
是
的一级极点.
这两个结果哪一个是正确的？为什么? 26. 判定下列各函数的什么奇点？
解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在
内得到的