21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?lnx?12ax?2x(a?0). 2 （I）若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围； （II）若a??11且关于x的方程f(x)??x?b在?1,4?上恰有两个不相等的实数根，求22实数b的取值范围；
（III）设各项为正的数列{an}满足：a1?1,an?1?lnan?an?2,n?N*.求证：an?2n?1
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H ．求证：
A
（I）C，D，F，E四点共圆； （II）GH2=GE·GF． D O
H
C B
F E G
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重
3?x??1?t??5（为参数）
合．直线l的参数方程是?，曲线C的极坐标方程为t4?y??1?t?5???2sin?(??4．)
（I）求曲线C的直角坐标方程；
（II）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求M,N两点间的距离．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（I）已知x,y都是正实数，求证：x3?y3?x2y?xy2； （II）已知a,b,c都是正实数，求证：a?b?c?
33312(a?b2?c2)(a?b?c)． 3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分12分）
解：（1）证法一：当n?1时，a1?2?2?1?1，不等式成立， 假设n?k时，ak?22k?1成立
2（2分），
当n?k?1时，ak?1?ak?11（5分） ?2?2k?3??2(k?1)?1．22akak?n?k?1时，ak?1?2(k?1)?1时成立
综上由数学归纳法可知，an?
2n?1对一切正整数成立
（6分）
证法二：当n?1时，a1?2?3?2?1?1，结论成立； 假设n?k时结论成立，即ak?当n?k?1时， 由函数f(x)?x?2k?1（2分）
1(x?1)的单增性和归纳假设有 x（4分）,
ak?1?ak?11?2k?1? ak2k?1因此只需证：2k?1?1?2k?3， 2k?111)2?2k?3??0，
2k?12k?1而这等价于(2k?1?显然成立，所以当n?k?1是，结论成立； 综上由数学归纳法可知，
an?2n?1对一切正整数成立
（6分）
（2）解法一：
bn?1an1n1n（8分） ?n?1?(1?2)?(1?)bnann?12n?1n?1ann?111(n?)2?2n(n?1)2(n?1)n24?1
???12n?1(2n?1)n?1n?2又显然bn?0(n?N?)，故bn?1?bn成立 （12分） 解法二：bn?1?bn
（10分）
?an?1n?1?ann ?a1112(an?)?n?[n?(n?1?n)an]
ann?1nn(n?1)an?1（8分） [n?(n?1?n)(2n?1)]（由（1）的结论）
n(n?1)an1[n(n?1?n)?(2n?1)]
n(n?1)(n?1?n)an1[n(n?1)?(n?1)]
n(n?1)(n?1?n)an1(n?n?1)?0
n(n?1?n)an（10分）
???所以bn?1?bn 解法三：b2n?12n （12分）
22anan?1?b??
n?1n
2an112?(an?2?2)? n?1amn（8分）
211an112n?1?(2?2?)?(2??) n?1amnn?12n?1n （10分）
?111(?)?0 n?12n?1n
（12分）
22故bn?1?bn，因此bn?1?bn
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角A?DE?P的平面角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴?PAC?90．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC， 这时?AEP?90，故存在点E使得二面角A?DE?P是直二面角．（12分） （法2）如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系A?xyz，设PA?a，
??由已知可得P(0,0,a)，A(0,0,0)，B(?133a,a,0)，C(0,a,0)． 222