????1????????????（Ⅰ）∵AP?(0,0,a)，BC?(a,0,0)，∴AP?BC?0，
2∴BC⊥AP．又∵?BCA?90，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PA
?C．（4分）
19．（本小题满分12分）
解：（I） 由已知由函数f?x?的定义域为x??a，f??x??1?1x?a?1?， x?ax?a??a??a?1，
?由f?(x)?0,得x??a?1，
由f?(x)?0,得?a?x??a?1，
所以函数f(x)的减区间为??a,?a?1?，增区间为??a?1,???． …4分 （II）由题意，得f??1??0 ，? a＝0 ． ……5分
?由（Ⅰ）知f（x）＝x－lnx，
∴f（x）＋2x＝x2＋b ，即 x－lnx＋2x＝x2＋b ，? x2－3x＋lnx＋b＝0， 设g?x?＝x2－3x＋lnx＋b（x＞0），
12x2－3x＋1(2x－1)(x－1)
则g??x?＝2x－3＋x＝＝, xx
当x??,2?变化时，g??x?，g?x?的变化情况如下表：
2?1???（III）由（I） 和（II）可知当a?0,x??,???时,f(x)?f(1),即lnx?x?1,
?1?2???当x?1时, lnx?x?1 ． ……… 10分
令x?1?11?1?*（）,则ln1??2． n?2,n?N?2?n2n??n*所以当n?2,n?N时,
1?1?1?111???ln?1?2??ln?1?2??.......?ln?1?2??2?2?......?2
n?2??3??n?23?1111??......??1??1, 1?22?3n??n?1?n即ln?1???1??1?1??1?.......1??1, ?2??2?2?2??3??n?1??1??1????1?2??1?2?......?1?2??e． ……12分 ?2??3??n?20．（本小题满分12分）
解：（I）证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上， ∴AE?CD．
在正方形ABCD中，CD?AD，
∵AD?AE?A，∴CD?平面ADE．
∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD?平面ADE．
（II）解法1：∵CD?平面ADE，DE?平面ADE， ∴CD?DE．
∴CE为圆O的直径，即CE?9． 设正方形ABCD的边长为a，
2222在Rt△CDE中，DE?CE?CD?81?a，
2222在Rt△ADE中，DE?AD?AE?a?9，
由81?a?a?9，解得，a?35． ∴DE?22AD2?AE2?6．
在Rt△EFG中，FG?AB?35， ∴tan?EGF?EF2?． FG52． 5解法2：∵CD?平面ADE，DE?平面ADE， ∴CD?DE．
∴CE为圆O的直径，即CE?9．
故二面角D?BC?E的平面角的正切值为
设正方形ABCD的边长为a，
2222在Rt△CDE中，DE?CE?CD?81?a，
2222在Rt△ADE中，DE?AD?AE?a?9，
由81?a?a?9，解得，a?35． ∴DE?22AD2?AE2?6．
21．（本小题满分12分）
ax2?2x?1(x?0). 解：（1）f?(x)??x2依题意f?(x)?0在x?0时恒成立，即ax?2x?1?0在x?0恒成立．
1?2x1?(?1)2?1在x?0恒成立， 2xx12即a?((?1)?1)min(x?0)
x12当x?1时，(?1)?1取最小值?1
x则a?∴a的取值范围是(??,?1] ……4?
（3）设h(x)?lnx?x?1,x??1,???，则h?(x)?1?1?0 x?h(x)在?1,???为减函数，且h(x)max?h(1)?0,故当x?1时有lnx?x?1．
?a1?1.假设ak?1(k?N*),则ak?1?lnak?ak?2?1，故an?1(n?N*).
从而an?1?lnan?an?2?2an?1.?1?an?1?2(1?an)????2(1?a1). 即1?an?2，∴an?2?1 …………12?
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
（Ⅰ）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． ∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°．
又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．
nnn