第16届预赛
五、（15分）一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（如图预16-5）。
1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。 2. 用计算法求出此像的位置和大小。
第16届复赛
二、（25分）两个焦距分别是f1和f2的薄透镜L1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。
参考答案
第21届预赛2004.9.5
一、1. d. 10
－19
2. a正确，b不正确。理由：反射时光频率? 不变，这表明每个光子能量h? 不变。 评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。
六、把酒杯放平，分析成像问题。
图1
1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成? 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为? ，由折射定律和几何关系可得
n1sini＝n0sinr （1）
? ＝i+? （2）
在△PAC中，由正弦定理，有
RPC? （3） sin?sini考虑近轴光线成像，?、i、r 都是小角度，则有
r?n1i （4） n0Ri （5） PC??由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及PC?PO?CO?4.8cm可得
? ＝1.31i （6）
r ＝1.56i （7）
由（6）、（7）式有
r＞? （8）
由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P?，P? 即为P点的实像．画面将成实像于P? 处。
在△CAP? 中，由正弦定理有
RCP? （9） ?sin?sinr又有 r＝? +? (10) 考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得
CP??又有
rR (11) r??OP??CP??R （12）
由以上各式并代入数据，可得
OP??7.9 cm （13）
由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。
2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，
图2
考虑到近轴光线有
r?n1i （14） n2代入n1和n2的值，可得
r＝1.16i （15）
与（6）式比较，可知
r＜? （16）
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P?，P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。计算可得
CP??又有
rR （17） ??rOP??CP??R （18）
由以上各式并代入数据得
OP??13 cm （19）
由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P?处，距O点13cm．即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人
眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。 评分标准：
本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。
第21届复赛
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源
h S1 S2 ??O1 O3 ? S1O2(S2’) S3’ L 的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中MM?表示h ??u ?、S2?、S3?为三个光束中心光线与组合透镜的平面，S1该平面的交点． S2O2 ＝ u就是物距．根据透镜成像公式
可解得
M’ 图1 111?? (1) uL?uf u?[L?L2?4fL]
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 O1O2?O2O3?
12u?(6?32)h≈1.757h (2)
L?u11h?(?2)h?0.854h L24(3)
?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1
?O1?h?O1O2?0.146h S1(4)
?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透同理，O3的位置应在S3镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点． 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．
因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况（纸面为MM?平面）．图中C1、
?、S2?为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与C2表示L1、L2的边缘，S1O1O2的交点．
?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）为圆心的圆2分别是S1光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为
??utan??0.439h (5)
h 0.439h Q T N 0.439h O1 W2 K 圆1 S1’ C1 0.146h Q’ N’ T’ x2 0.854h
根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ 图2
x1 ???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75h (6) O1K???O1S1故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图