五、参考解答
利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像P?Q?，如下图所示。
（1）用y和y?分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得
Q
y
n1 f1
u
n2
F2
f2
v
P F1
y?
P? Q?
图复解 19-5-1
f2yu?f1?? （1） y?f1v?f2 (u?f1)(v?f2)?f1f2
简化后即得物像距公式，即u，v，f1，f2之间的关系式
f1f2??1 （2） uv（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图中?1为入射角，?2为与之相应的出射角，?为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为n，则由折射定律得
n1sin?1?nsin??n2sin?2 （3） 对傍轴光线，?1、?2≤1，得sin?1??1，sin?2??2，因而得 ?2?n1?1 （4） n2?1
n1 n
? ?
n2
?2
（3）由物点Q射向中心O的入射线，经出射线应射向Q?，如图复解19-5-3L折射后，所示，
图复解 19-5-2
Q
y
n1 L
n2
?1 F2
?2
图复解 19-5-3
P
F1
u
y?
P? Q?
vu
在傍轴的条件下，有
yy??tan?1??1，?tan?2??2 （5） uv二式相除并利用（4）式，得
y?unyv?1n 2用（1）式的y?/y?f1/(u?f1)代入（6）式，得
f1u(u?f?n1
1)vn2即 fn1?1uvn 2u?n1v用（1）式的y?/y?(v?f2)/f2代入（6）式，得
(v?f2)unf?1n 2v2即 fn2?2uvnv 2u?n1从而得f1，f2，n1，n2之间关系式
f2nf?2n 11
六、参考解答
（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为2 m0c1?(v2/c2)?1.10m20c 由此可解得
v?0.211.10?0.417c?0.42c （6） （7）
（8）
（9）（1）
（2） 入射光子和散射光子的动量分别为p?h?h??和p??，方向如图复解19-6所示。电cc光子散射方向
子的动量为mv，m为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得
电子 h? （3） cos??? 光子入射方向 22c1?(v/c)m0v m0v1?(v/c)22sin??h?? （4） c光子入射方向
图复解 19-6
A
已知 h??h???0.10m0c2 （5） 由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得
??0.37m0c2/h （6） ???0.27m0c2/h （7） ??tan－1??27?arctan()?36.1? （8） ?37电子从O点运动到A所需时间为 ?t?L0?2.4L0/c （9） v（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得 L?L01?(v2/c2) （10） L?0.91L0 （11）
第18届预赛
三、参考解答
1．先求凸球面的曲率半径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如C点为球面的球心，图预解18-3-1所示。
CO?R，由正弦定理，可得
R?fsinr? （1） Rsin(r?i)由折射定律知
sini1? （2） sinrn当i、r很小时，sinr?r，sin(r?i)?r?i，sini?i，由以上两式得 1?所以
R?(n?1)f （4）
2. 凸面镀银后将成为半径为R的凹面镜，如图预解18-3-2所示 令P表示物所在位置，P点经平面折射成像P?，根据折射定律可推出
frn1 （3） ???1?Rr?in?1n?1P?O?nPO （5）
由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于P??，则由球面镜成像公式可得
112?? （6） P??OP?OR由此可解得P??O?36cm，可知P??位于平面的左方，对平面折射来说，P??是一个虚物，经平面折射后，成实像于P???点。
P???O1? （7） ??POn所以 P???O?24 cm （8） 最后所成实像在透镜左方24 cm处。 评分标准：本题18分
（1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。
第18届复赛
一、参考解答
1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解18-1-1所示，图中C1为左端球面的球心．
由正弦定理、折射定律和小角度近似得
AF1?R1sinr1r111 （1） ????R1sin(i1?r)n?11i?1r1(i/r1)?11AF11 （2） ?1?R1n?1即
光线PF1射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C2一定在端面顶点B的左方，C2B等于球面的半径R2，如图复解18-1-1． 仿照上面对左端球面上折射的关系可得
BF11 （3） ?1?R2n?1又有 BF1?L?AF1 （4） 由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得
R2?5cm （5） 即右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
2. 设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过C1，②过A，如图复解18-1-2所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求M点的位置。在?AC1M中
R1AMAC （6） ???sin(???1)sin?1sin(?1??1)