2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为
d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h
（7）
由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，
x1M?r?S1?O1?? 代入r，??和S1?O1的值，得
x1M?0.457h
代入(7)式，得
x2m?d?x1M?0.189h
由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，
x2M?r??
代入r和??的值，得 x2M?0.311h
x1m?d?x2M?0.335h
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
第20届预赛
一、参考解答
（1） 右 f 实 倒 1 。 （2） 左 2f 实 倒 1 。
(8)
(9)
(10) 11）
（评分标准：本题20分，每空2分。
第20届复赛
四、参考解答
图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i?，折射光线与坐标轴的交点在
P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有
在?OMP中
sini??n （1） sinilx （2） ??sinisinil2?R2?x2?2Rxcosi （3）
由式（1）和式（2）得
x?nl 再由式（3）得
x2?n2(R2?x2?2Rxcosi)
设M点到Ox的距离为h，有
h?Rsini
Rcosi?R2?R2sin2i?R2?h2 得
x2?R2?x2?2xR2?h2 2n1x2(1?2)?2xR2?h2?R2?0 （4）
n解式（4）可得
n2R2?h2?nR2?n2h2 （5） x?2n?1为排除上式中应舍弃的解，令h?0，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式
x?n(n?1)nnR?R或R
n?1n?1n2?1由图可知，应有x?R，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x应表示为
n2R2?h2?nR2?n2h2x? （6）
n2?1上式给出x随h变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有h?h0，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为
x0?22n2R2?h0?nR2?n2h0n2?1 （7）
在轴上x?x0处，无光线通过。
随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角iC时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角iC相应的光线有
hC?RsiniC?R这光线的折射线与轴线的交点处于
1 nn2R1? xC?n?121n2?nRn?12 （8）
在轴Ox上R?x?xC处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半球以右
xC?x?x0 （9）
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。x0与xC就是所要求的分界点，如图复解
20-4-2所示
评分标准：本题20分。
求得式（7）并指出在Ox轴上x?x0处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在Ox轴上x?x0处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出Ox上有光线段的位置，给4分。
第19届预赛
五、参考解答
由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由S射向L1光心的光线的光路图如图预解19-5所示。由对称性可知
i1?r2 ①
i2?r1 ②
由几何关系得 r1?i2???60? ③ 由图可见
i1???r1 ④
又从?FSO1的边角关系得
tan??y/f ⑤
代入数值得
??arctan(14.3/30.0)?25.49? ⑥
由②、③、④与⑥式得r1?30?，i1?55.49? 根据折射定律，求得
n?评分标准：本题20分
sini1?1.65 ⑦ sinr11. 图预解19-5的光路图4分。未说明这是两个左右对称性的结果只给2分。 2. ①、②、③、④式各给2分，⑤式给3分，⑥式给1分，⑦式给4分。
第19届复赛