高中数学同步题库含详解45平面向量应用举例
一、选择题（共40小题；共200分）
1. 按向量 ?? 把点 (2,?3) 平移到 (0,1) ，则按 ?? 把点 (7,1) 平移到点 ??
A. (9,?3) A. ?? ??? sin????? C. ??
B. (5,5)
C. (9,3) cos????? B. ??
D. ?? cos?????
D. (?5,?5)
推动一物体水平运动 ?? m，设 ?? 与水平面的夹角为 ??，则对物体所做的功为 ?? 2. 用力 ??
表示“向南航行 1 km”，则 ?? 表示 ?? 3. 已知向量 ?? 表示“向东航行 1 km”，向量 ?? +??
A. 向东南航行 2 km C. 向东北航行 2 km
B. 向东南航行 2 km D. 向东北航行 2 km
，则 ?????? = ?? 按向量 ??4. 设点 ?? 1,2 ，?? 3,5 ，将向量 ???? = ?1,?1 平移后得到 ??????
A. 1,2 ??
B. 2,3
C. 3,4
D. 4,7
5. 某人在高为 ?? 米的楼上水平抛出一石块，速度为 ??，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是
2????
2????
A. ?? B. ?? C. ?? 2???? D. ?? 2????
6. 已知三个力 ??1= ?2,?1 ，??2= ?3,2 ，??3= 4,?3 同时作用于某物体上的一点，为使物体保 持平衡，现加上一个力 ??4，则 ??4 等于 ?? A. ?1,?2
B. 1,?2
C. ?1,2
D. 1,2
推动一物体 ??，使其沿水平方向运动 ?? 与竖直方向的夹角为 ??，则 ?? 对物体 ?? 所做的7. 用力 ?? ，??功为 ?? ???A. ?? ?cos?? A. ??1???2
???B. ?? ?sin?? B. ??1+??2
??C. ?? cos?? C. ??1 ? ??2
??D. ?? sin?? D. 1 ??2??
8. 人骑自行车的速度为 ??1 ，风速为 ??2 ，则逆风行驶的速度的大小为 ??
°° 9. 已知两个力 ??1，??2 的夹角为 90 ，它们的合力大小为 10 N ，合力与 ??1 的夹角为 60 ，那么 ??1
的大小为 ??
A. 5 3 N
??
π
B. 5 N
π
C. 10 N D. 5 2 N
10. 将 ??=2cos 3+6 的图象按向量 ?? = ?4,?2 平移，则平移后所得图象的解析式为 ??
A. ??=2cos + ?2
34C. ??=2cos 3?12 ?2 ??
A. 2,?1
??
π??
π
B. ??=2cos ? +2
34D. ??=2cos 3+12 +2
??
π
??π
11. 若向量 ?? 与直线 ?? 垂直，则称向量 ?? 为直线 ?? 的法向量．直线 ??+2??+3=0 的一个法向量为
B. 1,?2
C. 2,1
D. 1,2
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° 12. 两个大小相等的共点力 ??1，??2，当它们夹角为 90 时，合力大小为 20 N，则当它们的夹角为
120° 时，合力大小为 ??
A. 40 N
B. 10 2 N
C. 20 2 N
D. 10 3 N
13. 若向量 ????1= 1,1 ，????2= ?3,?2 分别表示两个力 ??1，??2，则 ??1+??2 为 ??
A. 5,0
B. ?5,0
C. 5
D. ? 5 14. 点 ?? 在平面上作匀速直线运动，速度向量 ?? = 4,?3 （即点 ?? 的运动方向与 ?? 相同，且每秒移
动的距离为 ?? 个单位）．设开始时点 ?? 的坐标为 ?10,10 ，则 5 秒后点 ?? 的坐标为 ??
A. ?2,4
?? 方向行驶． ??
A. 与水速成 45°
B. 与水速成 135°
C. 垂直于对岸
D. 不能确定
16. 作用于原点的两个力 ??1= 1,1 ，??2= 2,3 ，为使它们平衡，需要增加力 ??3，则力 ??3 的大小为
??
A. 3,4
B. ?3,?4
C. 5
D. 25
17. 在水流速度为自西向东，10 km/h 的河中，如果要使船以 10 3 km/h 的速度从河的南岸垂直到
达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为 ??
A. 北偏西 30°，20 km/h C. 北偏东 30°，20 km/h
B. 北偏西 60°，20 km/h D. 北偏东 60°，20 km/h
B. ?30,25
C. 10,?5
D. 5,?10
15. 有一两岸平行的河流，水速为 1 m/s，小船的速度为 2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝
18. 若向量 ????1= 2,2 ，????2= ?2,3 分别表示两个力 ??1，??2，则 ??1+??1 为 ??
A. 0,5 ??
B. 4,?1
C. 2
D. 5
19. 把函数 ??=??2+4??+5 的图象按向量经一次平移后得到 ??=??2 的图象，则平移向量等于
A. 2,?1
??3 的终点坐标为 ??
B. ?2,1
C. ?2,?1
D. 2,1
20. 已知作用在点 ?? 的三个力 ??1= 3,4 ，??2= 2,?5 ，??3= 3,1 且 ?? 1,1 ，则合力 ??=??1+??2+
A. 9,1
B. 1,9
C. 9,0
D. 0,9
21. 质点 ?? 在平面上做匀速直线运动，速度向量 ?? = 4,?3 （即点 ?? 的运动方向与 ?? 相同，且每秒
移动的距离为 ?? 个单位）．设开始时点 ?? 的坐标为 ?10,10 ，则 5 s 后点 ?? 的坐标为 ?? A. ?2,4
B. ?30,25
C. 10,?5
D. 5,?10
22. 一质点受到平面上的三个力 ??1，??2，??3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 ??1，??2 成
60° 角，且 ??1，??2 的大小分别为 2 和 4，则 ??3 的大小为 ?? A. 6
B. 2
C. 2 5 D. 2 7
°° 23. 已知两个力 ??1，??2 的夹角为 90，它们的合力大小为 10 N，合力与 ??1 的夹角为 60，那么 ??1
的大小为 ??
A. 5 3 N
B. 5 N
C. 10 N
D. 10 3 N
24. 若直线 2?????+??=0 按向量 ?? = 1,?1 平移后与圆 ??2+??2=5 相切，则 ?? 的值为 ??
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A. 8 或 ?2 B. 6 或 ?4 C. 4 或 ?6 D. 2 或 ?8
25. 已知作用于原点的两力 ??1= 1,1 ，??2= 2,3 ，为使它们平滑，需加力 ??3 为 ??
A. 3,4 ??= ??
A. 30°
B. ?3,4
C. ?3,?4
D. 3,?4
的旅行包时，夹角为 ??，两人用力大小都为 ?? ，则 ．若 ?? = ??26. 当两人提起重量为 ??
B. 60°
C. 90°
D. 120°
27. 若 ????1= 1,2 ，????2= ?2,1 ，且 ????1，????2 分别是直线 ??1:????+ ????? ?????=0，??2:????+
4????+??=0 的方向向量，则 ??，?? 的值分别可以是 ?? A. 2,1
B. 1,2
C. ?1,2
D. ?2,1
21 ，???? = ，则 28. 设 ?? 为 △?????? 内一点，?? 为 △?????? 的边 ???? 上一点，且满足 ????=3????????+4????
??△????????△??????
= ??
B. 61
A. 9
2
C.
54
7
D. 27
4
= +29. 已知点 ?? 是 △?????? 所在平面内的一定点， ?? 是平面 ?????? 内一动点，若 ????????+??( ????
12
) ， ??∈(0,+∞) ，则点 ?? 的轨迹一定经过 △?????? 的 ?? ????A. 垂心
B. 重心
C. 内心
D. 外心
+ = 30. 设 ?? 在 △?????? 的内部，且 ????????+2????0，△?????? 的面积与 △?????? 的面积之比为 ??
A. 3:1
B. 4:1
C. 5:1
D. 6:1
31. 河水的流速为 2 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向驶向对岸，它的实际航行速度是 10 m/
s．则小船的静水速度大小为 ?? A. 10 m/s
B. 2 26 m/s
C. 4 6 m/s
D. 12 m/s
32. 一条河的宽为 ??，水流的速度为 ?? 2，一船从岸边 ?? 处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的
?? 处，船在静水中的速度是 ?? 1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为 ??
A. ?? 1
22C. ?? ?? 1? 2
22
B. ?? ?? 1+ 2
D. ?? ?? 1 ? 2
+???? =0，???? ????? =2，且 ∠??????=60°，则 △?????? 的33. 已知 ?? 是 △?????? 内部一点， ????+????
面积为 ??
1
3 32
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
34. 如图所示，在重 600 N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为 30°，60°，重物平衡时，
两根绳子拉力的大小分别为 ??
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A. 300 3 N，300 3 N C. 300 3 N，300 N
B. 150 N，150 N D. 300 N，300 N
=???? +?? ???? ????? + ???? ????? ??∈?? ， 35. 已知 ??，?? 是 △?????? 所在平面上的点，且 ????
则直线 ???? 一定通过 △?????? 的 ?? A. 垂心
π
B. 重心
π
C. 外心
π
D. 内心
π
+ = 36. 设 ?? 为 △?????? 的外心，且 ????????+ 2 ????0，则 △?????? 的内角 ??= ??
A. 6 ??△????????△??????
B. 4 C. 3 D. 2
3
，?? 为 △?????? 内一点，且满足 ???? =3???? +2???? ，则 37. 在 △?????? 中，点 ?? 满足 ????=4????105
= ??
B. 20 B. 外心
9
A. 10 A. 重心
3
C. 35 C. 垂心
6
D. 35 D. 内心
9
2+ ???? 2 最小，则点 ?? 是 △?????? 的 ?? 2+ 38. 在 △?????? 内，存在一点 ??，使 ???????? +2 = 39. 已知 ?? 是正三角形 ?????? 内部一点，????????+3????0，则 △?????? 的面积与 △?????? 的面积之
比是 ?? A. 2 3
B. 3 2
C. 2
D. 3
1
40. 设 ??1，??2，??3，??4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 ??1??3=????1??2 ??∈?? ，
11
??1??4=????1??2 ??∈?? ，且 ??+??=2，则称 ??3，??4 调和分割 ??1，??2，已知平面上的点 ??，?? 调
和分割点 ??，??，则下面说法正确的是 ??
A. ?? 可能是线段 ???? 的中点 B. ?? 可能是线段 ???? 的中点 C. ??，?? 可能同时在线段 ???? 上
D. ??，?? 不可能同时在线段 ???? 的延长线上
二、填空题（共40小题；共200分）
41. 在水流速度为 4 千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 千米/小时的速度航行，
则船实际航行的速度的大小为 ．
42. 两个力 ??1= 1,1 ，??2= 4,?5 作用于同一个质点 ??，使点 ?? 从点 ?? 20,5 移到点 ?? 7,0 ，则
的数量积） ??1+??2 对质点 ?? 做的功 ??= ．（即 ??1+??2 与 ????
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43. 某重量为 ?? 的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动
摩擦系数 ??=
3，那么绳子与地面成 角时，拉力最小． 3
44. 已知力 ?? 的大小为 50 N，与水平方向的夹角为 30° （斜向上），使物体沿水平方向运动了 20 m，
则力 ?? 所做的功为 ．
45. 一条河宽为 400 m，一船从 ?? 出发航行垂直到达河正对岸的 ?? 处，船速为 20 km/h．水速为
12 km/h，则船到达 ?? 处所需时间为 min．
46. 一辆汽车从 ?? 点出发向西行驶了 100 千米到达 ?? 点，然后又改变方向向西偏北 50° 方向走了
200 千米到达 ?? 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 千米到达 ?? 点．则 ???? = 千米．
47. 一艘船从 ?? 点出发以 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶的速度大小为
2 km/h，则河水流速的大小为 ．
48. 一艘船从 ?? 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际行驶速度的大小为
4 km/h，则河水的流速的大小为 ．
表示该飞机的前后两49. 一飞机向南飞行 90 千米，然后改变方向，向西飞行 90 千米，分别用 ?? ，??
表示的实际意义为 ． 段飞行，则飞机的飞行路程为 ，而 ?? +??
50. 一人用绳拉车沿直线方向前进 30 米．若绳与行进方向的夹角为 3，人的拉力为 50 牛顿，则人
π
对车所作的功为 ．
51. 用两条成 120° 角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重力为 10 N，则每根绳子
的拉力大小是 ．
52. 一艘船从 ?? 点出发以 2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2km/h，
则船实际航行的速度的大小和方向是 ．
53. 已知作用在 ?? 点的三个力 ??1= 3,4 ，??2= 2,?5 ，??3= 3,1 且 ?? 1,1 ，则合力 ??=??1+??2+
??3 的终点坐标为 ．
54. 人骑自行车的速度为 ??1，风速为 ??2 ??1 > ??2 ，则逆风行驶的速度大小为 ． 55. 在长江南岸渡口处，江水以 12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25km/h．渡船要垂直地渡
过长江，则航向为 ．
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