与 ???? 方向相反，故 ???? 与 ???? 共线． 由题意，易知 ???? 又 ???? = ???? ，
所以在四边形 ???????? 中，????∥???? 且 ????=????． 所以四边形 ???????? 为平行四边形． 所以 ???? ???? = =200 千米． 47. 1 km/h 48. 2 km/h
49. 180千米，向西南方向位移90 2千米 50. 750 焦耳 51. 10 N
52. 大小是 4km/h，方向与水流方向的夹角为 60°; 53. 9,1
= 【解析】设 ?? ??,?? ，合力 ???1,???1 =????1+??2+??3= 8,0 ，解得 ?? 9,1 ． 54. ??1 ? ??2 55. 北偏西 30° 56. 1000 3 【解析】??=100×20×cos30°=1000 3 （ J ）． 57. 10 J
1 ??? 【解析】????=?? = ?cos60°=20×1×2=10 J． ?? ? ??
58. 10,?5
【解析】设 5 s 后点 ?? 的坐标为 ??,?? ，则 ??+10,???10 =5 4,?3 ，解得 ??=10，??=?5． 59. 120° 60. 7
59
= 5,3 ，其所做的功为 ??=?? ???【解析】对于合力 ?? =+=7．
2
2
61. 2 7，arccos62. 7 N，14 【解析】因为
13
7 14
2 ??
2 = ??1+??2 =??1+??2+2??1???2
=25+9+2×5×3×cos60°
=49.
22
= ?? 所以 ??1+??2 =7 N． 与 ?? 设 ??1 的夹角为 ??， 则 cos??=
????1+ 2 ???1
??1+??2 ? ??1
1314
=，
13
与 ?? 即 ??1 的夹角的余弦值为 14．
63. 0
【解析】如图所示，连接 ???? 并延长交 ???? 于 ?? 点，点 ?? 为 ???? 的中点，延长 ???? 到 ?? 点，使 ????=????，
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+???? =???? ,???? + = + +???? = 则 ????????0，所以 ????????0． 64. ①③
，绳的拉力为 ?? ，?? 与水平方向夹角为 ?? 0
?? ，所以 则 ?? cos??= ?? ?? =cos??．因为 ?? 增大，cos?? 减小，所以 ?? 增大．因为 ?? sin?? 增大，所以
船的浮力减小． 65. 2 7 N
【解析】由 ??1+??2+??3=0，得 ??3=? ??1+??2 ， ??3 = ??1+??2 = 4+16+2×4=2 7．所 以 ??3 =2 7 N． 66. 6,
π5π
6
2
1124
67. 0,arccos 68. 15 N 69. 2
【解析】因为 ??0 ?1,2 ，??0 ?2,?1 ， 所以 ??0??0= ?1,?3 ． 又因为 ?? ?? 1+ 2= 1,1 ， 所以 ?? ?? 1+ 2 = 2． 因为 3 ?? ?? 1+2 2= 3,2 ， 所以 3 ?? ?? 1+2 2 = 13．
所以当 ?? 时刻时，点 ?? 的位置为 ?1+??,2+?? ，点 ?? 的位置为 ?2+3??,?1+2?? ． = ?1+2??,?3+?? ． 所以 ????
因为 ????⊥??0??0，
所以 ?1 ? ?1+2?? + ?3 ? ?3+?? =0． 所以 ??=2． 70. 等边三角形
????? = ???? ???? cos??=4cos??=2， 【解析】????
所以 cos??=．因为 0
2
3
1
π
71. ④， ?3,2
= ??,0 ，?? ??,?? 为函数 ??=cos2?? 图象上的一点，则 ??? ??+??,?? 为函数 ??=【解析】（1）设 ??
sin2?? 图象上的 ?? 点的对应点，所以 ??=sin2 ??+?? =sin 2??+2?? ，所以有 2??=2+2??π ??∈?? ，即 ??=4+??π ??∈?? ．当 ??=0 时，??=4．
=?? ，于是 ?? ????? = ?2,4 ? 1,2 = ?3,2 ． （2）取 ?? 为坐标原点，由题意知 ???? =???? =????
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π
π
π
72. 3
【解析】已知向量满足 + = 3 ????，而 ,???? , ???? 均为单位向量，所以可得四边形 ???????? 为 ???? ???? ????
????
????
????
????
????
????
= ???? = 2，则四边形 ???????? 的面积是 2× 2× 3= 3． 菱形，易求 ∠??????=60°， ????273. ?? ?? =???sin??
【解析】因为重力、绳子 ???? 的拉力方向不变，其中重力大小也不变，所以三个力形成的受力三角形如图所示，
显然，绳子 ???? 所受的拉力 ???? 随着绳子 ???? 与水平的夹角 ?? 的增大先减小后增大． 当且仅当 ???? 与绳子 ???? 垂直时，即 ??=?? 时拉力 ???? 最小，最小值为 ?? ?? =???sin??． 74. 2 2，东北方向 【解析】如图，
=“向北方向，2 m/s”， 设 ?? =“向东方向，2 m/s”，?? = 22+22=2 2 m/s ． 则 ?? +?? ，得 ?? 的方向为东北方向． 由 ?? = ?? +??75. 6 2 【解析】船上的人测得的风速是风对船的相对速度，应等于风速与船速之差．利用向量相等的定义，即可求出风速．分别取正东、正北方向为 ?? 轴、 ?? 轴正方向建立直角坐标系，令 ?? 轴，?? 轴正方向上的单位向量分别为 ?? ,?? ，并设表示风速的向量为 ???? +???? ，起初船速为 6?? ，船上的人测得风速为 ????? ??>0 ，则 ???? +???? ?6?? =????? ，可解得 ??=6．后来船上的人测得风速为 ??? ?? +?? ??>0 ， 所以 ???? +???? ?12?? =??? ?? +?? ，于是 ???12=??=???=?6， 所以表示风速的向量为 6?? ?6?? ，风速大小为 6?? ?6?? =6 2 km/h ． 76. 与水流方向成 135° 角 77. 4.9，?? ??? ，?? ??? 78. 7 =?????? ，???? =?????? ，??+4??=1， 【解析】解法1： 由于 ??，?? 分别是 ????，???? 的中点， ????
1
=1???? +1???? ， +1 =1?????? +1?????? = 1?2?? ???? +1?????? ， 所以 ????????=????????22222222
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????? =2?????? + 1??? ???? ．而 ???? ????? =1×1×cos120°=?，所以 =????所以 ????
2
2
2
1
+ 1??? ???? = 2?????? ????
2
1
= 21??2?6??+1,21
min= 7． 显然 ??= 时， ????
7
7
11
解法2： 如图，以 ?? 为坐标原点，???? 所在直线为 ?? 轴，???? 所在直线 ?? 轴建立平面直角坐标系， 由 ????=????=1，??=120° 得，?? 0,0 ，?? 0, ，?? ?
2
2
2
2
2
1
3 3,0 ，?? ,0 ， 22
2
2
=?????? = ? 3??,?1?? = 2 3??? 3,2???1 ，???? =?????? = ? 3??,?1?? ，从而点 所以 ?????? 2 3???
1 3 3,2?? ，点 ?? ??,???222
2+ ，线段 ???? 的中点 ??
2
24
2
15 34
???
33,??44
+ ， 4
1
= 5 3??? 3 + 3??+1 =1 21??2?6??+1， 所以 ????
4
4
4
min=显然当 ??=7 时， ????
1
7． 7
79. 7
和 ???? 上的投影分别为 1 ???? ，1 ???? ．又【解析】解法1：因为 ?? 是三角形外心，所以 ???? 在 ????
2
2
????? =???? ? ???? +???? =???? 2+???? 2=???? 2+=4，所以 因为 ?? 是边 ???? 的中点，所以 ????24444 2=7．即 ????= 7． ????
1
? 解法2：延长 ???? 交圆 ?? 于点 ??，链接 ????，????，则 ????⊥????，????⊥????．所以 ????????= ?????
2
12
1
11119
+???? = ???? ????? + = ???? + + ???? +???? ????? =???? 2+???? 2= ????? ?????????????????
4
4
4
4
4
9
11111
2+=4，所以 ???? 2=7．即 ????= 7． ????44
解法3：以 ???? 为 ?? 轴，???? 为 ?? 轴，建立平面直角坐标系，设 ?? ???,0 ，?? ??,0 ，?? ??,?? ，?? ??,?? ．由题意得
??2+??2=??2+ ????? 2,??2=4?????,
所以 2????=?1, 所以 ????2= ??+?? 2+??2=??2+2????+??2+??2=7， ????? 2+??2=9,
??2+??2=4+????,??2+??2?????=4,所以 ????= 7 80.
4 23
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+???? +4 =2 【解析】如图，取 ???? 的中点 ??，由 ????????= 0 得 ????????，?? 为线段 ???? 上靠近点 ?? 的 =???? ????? ? ???? ? ???? = ???? cos∠??????= ???? ，所以 cos∠??????=三等分点，由题意知， ?????????
13
2 23
，则 sin∠??????=
的最小值为 2sin∠??????=，所以 ????
4 23
．
第三部分
81. ??????=40 3?1 N，??????=20 2 3?1 N． 82. 在如图所示的平行四边形中，
∠??????=30°，∠??????=60°，
在 △?????? 中，∠??????=60°，∠??????=90°，
°° 所以 ???? ???????????? = cos30=150 3 N， ???? = sin30=150 N，从而 ???? = =150 N，
所以与铅垂线成 60° 角的绳子拉力是 150 N，与铅垂线成 30° 角的绳子拉力是 150 3 N．
+?? +???? +???? +???? =???? ，连接 ????，由于 ???? =???? = =???? ，延长 ???? 到 ??，使 ????83. ?? +?? =???? + =???? + ，所以 ???? =???? + = ，即 ??????，所以四边形 ???????? 是平行四边形，所以 ???????????????? +?? =2 =2 ?????? = ???????? =8 3．
表示垂直于对岸横渡的方向，而表示船行驶速度的方向，由 ???? =84. 如图， ???? 表示水流方向，???? +???? ，及 且 ∠??????=90°．知 ???? =20，∠??????=120°，即船行驶速度为 20 km/h，方????????=????向与水流方向成 120° 角．
85. 物体在重力 ?? 、斜面对物体的支持力 ?? 、摩擦力 ?? 的共同作用下处于静止状态，说明这三个力平衡，合力为 0，即 ??+??+??=0，选取一组基底，通过向量运算求 ?? 的大小．
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