56. 某人用绳拉车沿直线方向前进 100 m，若绳与行进方向的夹角为 30°，人的拉力为 20 N，则人
对车所做的功为 J ．
57. 一个重 20 N 的物体从倾斜角 30°，斜面长 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功
是 ．
58. 质点 ?? 在平面上做匀速直线动动，速度向量 ?? = 4,?3 （即点 ?? 的运动方向与 ?? 相同，且每秒
移动的距离为 ?? 个单位）．设开始时点 ?? 的坐标为 ?10,10 ，则 5 s 后点 ?? 的坐标
为 ．
59. 三个力 ??1，??2，??3 的大小相等，且它们的合力为 0，则力 ??2 与 ??3 的夹角为 ．
13
60. 已知一物体在共点力 ?? = 2,2 ，则共点力对物体所做1= 2,2 ，??2= 3,1 的作用下产生位移 ??
的功为 ．
2π 61. 原点 ?? 受两个力 ????， ????1 与 ????2 的作用，∠??1????2=1 为 4 牛顿，????2 为 6 牛顿，则这两个力
3
的大小是 牛，???? 与 的合力 ????????1 的夹角是 ．
° 62. 已知作用于同一物体的两个力 ??1，??2 的大小分别是 5 N，3 N，??1，??2 所成的角为 60，则合力
的大小为 ；合力 ?? 与 ?? ??1 的夹角的余弦值为 ． + +???? = ． 63. 已知点 ?? 是 △?????? 的重心，则 ????????
64. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过
程中，下列说法中正确的是 （写出正确的所有序号）．
① 绳子的拉力不断增大；② 绳子的拉力不断变小；③ 船的浮力不断变小；④ 船的浮力保持不变．
° 65. 一质点受到平面上三个力 ??1，??2，??3 的作用而处于平衡状态．已知 ??1，??2 成 60 角，且
??1 =2 N， ??2 =4 N，则 ??3 = ．
满足 ?? ≤1 ，且以向量 ?? 为邻边的平行四边形的面积为 1 ，则 ??66. 若平面向量 ?? ,?? =1, ?? ,?? 与 2
的夹角 ?? 的取值范围是 ． ??
67. 若要拖动一辆汽车至少需要 3000 N 的力，现有大小分别为 2000 N 的力和 1500 N 的力作用在这
辆汽车上，则当两个力的夹角 ?? 满足 ??∈ 时，才能拖动这辆汽车．
68. 如图所示，在 30° 的斜坡上，放着重量为 20 N 的物体，若摩擦力 ???? 为 5 N，物体沿着与坡面平
行的方向做匀速直线运动，则作用在物体上的与坡面平行的拉力 ?? 的大小为 ．
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69. 平面上有两个向量 ?? ?? ?? ?? 1= 1,0 ， 2= 0,1 ，今有动点 ?? 从 ??0 ?1,2 开始沿着与向量 1+ 2 相
同的方向做匀速直线运动，速度大小为 ?? ?? 1+ 2 ．另一点 ?? 从 ??0 ?2,?1 出发，沿着与向量 3 ?? ?? ?? ?? 1+2 2 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 3 1+2 2 ．设 ??，?? 在 ??=0 秒时分别在 ??0，??0 处，则当 ????⊥??0??0 时，??= ．
= ???? =2，且 ???? ????? =2，则这个三角形的形状是 ． 70. 在 △?????? 中，已知 ????
71. 设 ?? ??,?? 是图形 ?? 上的一点，将图形 ?? 按向量 ?? = ??,?? 平移，得到图形 ???，相应地，点
?? ??,?? 平移后得到点 ??? ??+??,??+?? ，我们把上述的变换称之为图形 ?? 按照向量 ?? 的一个平移变换．
平移变换后得到 ??=sin2?? 的图象，则 ?? 可以（1）把函数 ??=cos2?? 的图象按向量 ??是 ．
① ?2,0 ；② ?4,0 ；③ 2,0 ；④ 4,0 ．
（2）若点 ?? 1,2 按照向量 ?? 平移后得到点 ??? ?2,4 ，则向量 ?? = ．
π
π
π
π
????????
=???? = 1,1 ，????72. 在四边形 ???????? 中，????+=3，则四边形 ???????? 的面积是 ． ???? ???? ???? 73. 如图所示，绳子的点 ?? 处拴着一个重物，保持绳 ???? 与竖直方向的夹角不变，改变绳 ???? 与水平
的夹角 ??，并保持物体处于静止状态，则绳子 ???? 所受的拉力变化情况可用函数 ????=?? ?? 来描述，则函数 ?? ?? 的最小值为 ．
74. 河水从西向东流，流速为 2 m/s，一轮船以 2 m/s 的速度垂直于水流方向向北横渡，则轮船的实
际航行速度为 m/s，航行方向为 ．
75. 某船以 6 km/h 的速度向东航行，船上有人测得风自北方来．若船速加倍，则测得风自东北来，
则风速大小为 km/h．
76. 有一两岸平行的河流，水的速率为 1，有一小船想行驶到对岸，小船的速率为 2，为使所走路
程最短，小船应朝 的方向行驶．
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77. 一个 30° 的斜面上放有一个质量为 1 kg 的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给
球 N 的力；若表示球的重力的向量为 ?? ，球对斜面的压力为 ?? ，则球的重力沿斜面方向
= ，保持球在斜面上静止不动的推力 = ． 的分力 ?????
78. 如图，在等腰三角形 ?????? 中，已知 ????=????=1，??=120°，??，?? 分别是边 ????，???? 上的点，
=?????? ，???? =?????? ，其中 ??，??∈ 0,1 ．若 ????，???? 的中点分别为 ??，??，且 ??+且 ???? 的最小值是 ． 4??=1，则 ????
????? =4，则 ????= ． 79. 如图，在圆 ?? 的内接 △?????? 中，?? 是 ???? 的中点，????=3．若 ????
=2 ， ???? =6，?? 为梯形 ???????? 所在平面上一点，且满足 ???? +???? +80. 在梯形 ???????? 中，????????
= 的最小值为 ． = ，?? 为边 ???? 上的一个动点，则 ????4????0， ????????????? ? ????
三、解答题（共20小题；共260分）
81. 如图所示，一个重为 40 N 的物体，由两根绳子 ???? 、 ???? 悬挂起来，若 ???? 、 ???? 与铅垂线所成
的角分别为 30° 、 45°，且物体静止不动，求绳子 ???? 、 ???? 需要承受多大的力?
82. 在重 300 N 的物体上系有两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30°，
60°（如图所示），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
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， =?? =?? =??83. 如下图所示，已知在矩形 ???????? 中， ???? =4 3，设 ???? ，???????? ，试求
+?? ?? +?? 的大小．
84. 在水流速度为 10 km/h 的河中，如果要使船以 10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横渡，求船行
驶速度的大小与方向．
85. 如图，质量为 ?? 的物体静止在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ??，求斜面对物体的摩擦力 ?? 的
大小．
86. 一艘船从点 ?? 出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于河对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2 km/h，
求船实际航行速度的大小与方向（用与水的流速间的夹角表示）．
87. 如图，在平行四边形 ???????? 中，?? 为对角线 ???? 上一点，且 ????:????=2:3，连接 ???? 并延长交
???? 于点 ??，求 ????:???? 的值．
88. 在风速为 75 6? 2 km/h 的西风中，飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时
飞机的航速和航向．
=10 N 的作用下，沿斜面角 ??=30° 的光89. 质量 ??=2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 ??
滑斜面向上滑行 ?? =2.0 m 的距离（如图所示）
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（1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
（2）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少?
一帆船所受的风力方向为北偏东 30°，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h，
90. 2012年英国伦敦奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果
若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度与方向．
91. 已知 △??????，???? 为中线，求证：????2= ????2+????2 ? ．
22
92. 如图1，四边形 ???????? 是正方形，?? 是对角线 ???? 上的一点（不包括端点），点 ??，?? 分别在边
????，???? 上，且四边形 ???????? 是矩形，试用向量法证明：????=????．
1
????2
93. 如图所示，若点 ?? 是 △?????? 内一点，并且满足 ????2+????2=????2+????2，求证：????⊥????．
方法证明四边形 ???????? 也是平行四边形．
94. 如图，已知在平行四边形 ???????? 中，??，?? 是对角线 ???? 上的两点，且 ????=????=4????，用向量
1
95. 如图所示，已知平行四边形 ???????? 中，??，?? 在对角线 ???? 上，且 ????=????．求证四边形 ????????
是平行四边形．
的作用下沿水平方向前进了 ?? 的大小为 ?? N，方向与小车前96. 一辆小车在拉力 ?? m．拉力 ??
所做的功 ??． 进的方向所成角为 ??，如图所示．求 ??
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