习题一
1
1．设x>0相对误差为2%，求x，x4的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f'(x)?(x)得
（1）f(x)?x时
?(x)?x1x(x)'?(x)?12?(x)?2*2%?1%；
（2）f(x)?x4时 ?(x4)?x4x4(x)'?(x)?4?(x)?4*2%?8%
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）x??12.1；（2）x??12.10；（3）x??12.100。 解：由教材P9关于?x??a1a2?am.b1b2?bn?型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：（1）31.97+2.456+0.1352 ?fl(fl(0.3197?102?0.2456?101)?0.1352) =fl(0.3443?102?0.1352)
=0.3457?102
（2）31.97+（2.456+0.1352）
?fl(0.3197?102?fl(0.2456?101)) = fl(0.3197?102?0.2591?101) =0.3456?102
易见31.97+2.456+0.1352=0.345612?102，故（2）的计算结果较精确。
2
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
解：设该正方形的边长为x，面积为f(x)?x2，由?(f(x))??(f(x))xf(x)?f(x)f'(x)?(x)
解得?(x)??(f(x))f(x)?(f(x))x2))xf'(x)=
x?2x??(f(x2=0.5%
5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？
（1）已知x??1，（A）y?1?1?x1?2x1?x，（B）y?2x2；
(1?2x)(1?x)（2）已知x??1，（A）y?2，（B）y?x?1?x?1xx；
x(x?1x?x?1x)（3）已知x??1，（A）y?2sin2xx，（B）y?1?cos2xx；
（4）（A）y?9?80，（B）y?1 9?80解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3）（A）中sin2x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组 ?x15?1?10x2?1015?x1?x 2?2假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
??0.100?101x16161?0.100?10x2?0.100?10????(1)???0.100?101 x1x11?0.100?102?0.200?10?????(2)（1）（-2）得10.10?10.6110x2??61，即x2?10.10?1，把x2的值代入（1）得x1?00.；
3
把x2的值代入（2）得x1?0.100?101
解??x1?0.100?101?1??x1?0.100?10??x2?0.000?101不满足（2）式，解???x2?0.100?101不满足（1）式，故在十进制三位浮
点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数f(x)?x3?3x2?3x?1和g(x)?((x?3)x?3)x?1在x?2.19处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？
解：f(2.19)?0.480?101?0.219?101?3?0.480?101?0.657?101?1 ?0.105?102?0.144?102?0.657?101?1 =0.167?101
g(2.19)?((?0.81)?0.219?101?3)?0.219?101?1
?0.123?101?0.219?101?1=0.169?101
即f(x)?0.167?101，g(x)?0.169?101
而当x?2.19时x3?3x2?3x?1的精确值为1.6852，故g(x)的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
61（1）?1；(2)。
i?13i?1i?63i6解：（1）?111111?0.012?0.004?0.001
i?13i?3?32?33?34?135?36=0.333?0.111?0.037
?0.489
1 （2）?11110.001?0.004?0.012?0.037?0.111?0.3333i?136?135?34?
i?633?132?3=
?0.489
9．已知三角形面积S?12absinC，其中0?C??2。
证明：?(S)??(a)??(b)??(C)。 证
明
：
由
自
变量的误差对函数值的影响公式：
n?(f(x,xxi(x1,x2,?,xn)1,x2,?n))???f得
i?1f(x1,x2,?,x?xxi)。 n)?(i?(S(a,b,C))?a?S(a,b,C)?S(a,b,C)?S(a,b,C)S(a,b,C)?a?(a)?bS(a,b,C)?b?(b)?CS(a,b,C)?C?(C)
4
?(S)?aabsinC?bsinC??(a)?babsinC?asinC??(b)?CabsinC?abcosC??(C)
=?(a)??(b)?CtgC?(C)
??(a)??(b)??(C)
（当0?C??2时，C?tgC），命题得证。
习题二
5
1．找出下列方程在x?0附近的含根区间。 （1）x?cosx?0；（2）3x?cosx?0； （3）sin(x)?e?x?0；（4）x2?e?x?0； 解：（1）设f(x)?x?cosx，则f(0)1?，f(?1)?-0.4597，
由f(x)的连续性知在x???1,0?内，f(x)=0有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为?0,1?；????0,；0,1?2???
?
2．用二分法求方程xsinx?1?0在?0,2?内的根的近似值并分析误差。 解
：
令
f(x?)xs?ix，则有f(0?)??1，f(2)?0.8186?0，
f'(x)?sinx?xcosx?0，x??0,2?
所以函数f(x)在?0，2?上严格单调增且有唯一实根x?。 本题中求根使得误差不超过10?4，则由误差估计式
|??xb?a?4k|?.28便可，因此取k?14。
2k?1，所需迭代次数k满足
2?02k?1?10，即取k?13用二分法计算结果列表如下：
k ak bk xk f(xk) 0 0 2 1 -0.1585 1 1 2 1.5 0.4962 2 1 1.5 1.25 0.1862 3 1 1.25 1.125 0.015051 4 1 1.125 1.0625 -0.0718 5 1.0625 1.125 1.09375 -0.02835 6 1.09375 1.125 1.109375 -0.00664 7 1.109375 1.125 1.1171875 0.004208 8 1.109375 1.1171875 1.11328125 -0.001216 9 1.11328125 1.1171875 1.115234375 0.001496 10 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 0.001398 11 1.11328125 1.1142578125 1.11376953125 -0.000538