6
12 1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875 -0.000199 13 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875 -0.0000297 14 1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375 0.000055 由上表可知原方程的根??x14?1.11419677734375
该问题得精确解为??1.114157140871?，故实际误差为0.0000396?
3．判断用等价方程x??(x)建立的求解的非线性方程f(x)?x3?x2?1?0在1.5附近的根的简单迭代法xk?1??(xk)的收敛性，其中
（A）?(x)?1?1/x2；（B）?(x)?31?x2；（C）?(x)?1 x?1解：取1.5附近区间?1.3,1.6?来考察。（A）?(x)?1?1x2，显然当x?0时，?(x)单调递减，
而?(1.3)?1.59171596，
?(1.6)?1.390625，
因此，当x??1.3,1.6?时， ?(x)??1.3,1.6?。 又当x??1.3,1.6?时，?'(x)??22x3?1.33?0.92?1，
由迭代法收敛定理，对任意初值x??1.3,1.6?，迭代格式x1k?1?1?x2， (k?0,1,2,?)收敛。
k1（B）?(x)?(1?x32)，则?(1.3)?1.390755416，
?(1.6)?1.526921344，
?'(x)?12x32?0 (x?0)，
(1?x2)3所以当x??1.3,1.6?时， ?(x)??1.3,1.6?。
又当x??1.3,1.6?时，?'(x)?2x21.632?x2)332?0.552?1，
(1?(1?1.32)31由迭代法收敛定理，对任意初值x??1.3,1.6?，迭代格式x23k?1?(1?xk)，(k?0,1,2,?)收敛。 （C）?(x)?1，由于当x?x?1?1.3,1.6?时，有
7
?'(x)??13?13?1.075828706?1，
2(x?1)22(1.6?1)2所以对任意初值x??1.3,1.6?（原方程的根除外），迭代格式x1k?1? 发
x(k?0,1,?2,k?1散。
4．确定x??(x)的简单迭代法xk?1??(xk)的收敛区间?a,b?。如果收敛，试估计使精度达到
10?4时所需的迭代次数并进行计算。
x2（A）?(x)?2?e?x3； （B）?(x)?5x2?2； （C）?(x)?sinx?cosx2
解：（A）方程为2?ex?x2?3x?0，设f(x)?2?ex?x2?3x，则f(0)?1?0，
f(0.5)?-0.8987?0，故有根区间为[0,0.5]，题中?(x)?2?ex?x23，
x|?'(x)|?|2x?e?e03|?|2?03|?0.3333
x2故迭代公式?(x)?2?e?x3在含根区间[0,0.5]内收敛。
（B）方程为x3?2x2?5?0，设f(x)?x3?2x2?5，则f(2.5)?-1.875?0，
f(3)?4?0，故有根区间为[2.5,3]，题中?(x)?5x2?2，|?'(x)|?|?1010x3|?|2.53|?0.64?1
故迭代公式?(x)?5x2?2在含根区间[2.5,3]内收敛。
（C）方程为sinx?cosx?2x?0，设f(x)?sinx?cosx?2x，则f(0)?1?0，
f(1)?-0.6182?0，故有含根区间[0,1]，题中?(x)?sinx?cosx2，
|?'(x)|?|cosx?sinxsin02|?|cos0?2|?0.5?1
5．对下点列用埃特金方法加速。
8
x0?0.54030,x1?0.87758,x2?0.94496,x3?0.96891, x4?0.98007,x5?0.98614,x6?0.98981.2解：由埃特金加速公式~xk?1?xk)k?x(xk?x
k?2?2xk?1?x计算，结果列下表：kk xk k ~xk 0 0.54030 0 0.96178128343831 1 0.87758 1 0.98211751784481 2 0.94496 2 0.98980773260360 3 0.96891 4 0.98007 5 0.98614 6 0.98981
6．令初值x0?1，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程f(x)?x2?6?0的解。
解：牛顿迭代法
f'(1)?2?0，f''(2)?2?0，满足f'(1)f''(1)?0，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为x0?1时迭代法收敛。
f(x2牛顿迭代格式为：xk)xk3k?1?xk?f'(xxk?6k?xk)?2x?k2?x
kk xk 0 1 1 3.5 2 2.60714285714286 3 2.45425636007828 4 2.44949437160697 5 2.44948974278755 6 2.44948974278318
9
7 2.44948974278318 在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取??x6?2.44948974278318
双点弦割法
双点弦割法迭代格式为：xf(xk)xk?1xk?6k?1?xk?f(x(xk?1?xk)?k?1)?f(xk)x
k?1?xkk xk 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.38613861386139 4 2.45425636007828 5 2.44942735725712 6 2.44948968214144 7 2.44948974278395 8 2.44948974278318 9 2.44948974278318 在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。
双点弦割法
双点弦割法迭代格式为：x?xf(xk)x0xk?6k?1k?f(xx0?xk)?0)?f(xk)(x
0?xkk xk 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.60714285714286 4 2.38613861386139 5 2.47660818713450 6 2.43818334735072 7 2.45425636007828 8 2.44748955456412 9 2.45033071771908 10 2.44913644779691 11 2.44963821399228
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12 2.44942735725712 13 2.44951595791130 14 2.44947872716250 15 2.44949437160696 16 2.44948779773504 17 2.44949056010085 18 2.44948939934302 19 2.44948988709816 20 2.44948968214143 21 2.44948976826509 22 2.44948973207557 23 2.44948974728256 24 2.44948974089252 25 2.44948974357764 26 2.44948974244934 27 2.44948974292346 28 2.44948974272423 29 2.44948974280795 30 2.44948974277277 31 2.44948974278755 32 2.44948974278134 k?31以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位
7．建立利用方程x3?c?0求3c(c?0)的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。 3解：牛顿迭代格式为：x(x3k)k?1?xk?ff'(x?xck?xk??2xk?ck)3x2k3x2
k令f(x)?x3?c，因为当x?0时，f'(x)?3x2?0，f''(x)?6x?0， 故对于任何满足f(x)?x30?c?0，
即x30?c的初值x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于30c。
8．建立利用方程x?cx2?0求3c(c?0)的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。