nn21
另一方面：设指标jo满足：?|aij
o|?i?11m?jax?n?|aij| i?1定义?ax*如下：x*??1ij?o?0???1a 显然，||x*||=1
ijo?0nnn而且，?Ax?*j?a|?maxo?ijoxi??|aijoi?1i?j?n?|aij|
11?i?1n从而，||Ax*||*1?||Ax||j?m1?jax?n?|aij|
oi?1n即成立：||A||m||xax||||Ax||*1?1?||Ax||1?m1?axj?n?|aij|
1i?1综上得命题成立
13研究线形代数方程组?1.0001.001??x?1??2.001??1.0001.000??????的性态，并求精确解，设近似解??x2??2.000??~x??2????0?，计算余量r?b?Ax以及近似解的相对误差||x?x||?||x||
解：因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：? -1000 1001??? 1000 -1000?
?条件数为4.0020e+003，远大于1。所以其为病态的，其精确解为：x??1???
?1?余量为：r=?2.001??1.0001.001??2???2.000?????1.0001.000???0??0.001? ?????0??~?||x?x||?||?1??1??||?1.4142||x||?||||?1.4142||x?x||??1?，???1?，所以：?||x||?100%
14．计算Hilbert矩阵
????11121131??1??n?1?22
Hn???234n?1???????
???1111??nn?1n?2?2n?1??解：先求出H3,H4,H5,H?16的逆矩阵H3,H?114,H?5,H?16
然后，计算||H?13||, ||H3| | ,||H4|| , ||H?14|| , ||H5||, ||H?15||||H?16||,得出：cond(H33)?748 con(d4H)?3?10 cond(H575)?9?10 cond(6H)?6?10
15．求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。?10x1?5x2?6,?3x1?x2?x3?1,??5x1?10x2?4x(1)??3x (2)?3?25,1?6x2?2x3?0, ??4x2?8x3?x4??11,
??3x1?3x2?7x3?4;???x3?5x4??11;解：（1）雅可比迭代式为：
??x(k?1)1?1(1?x(k)(k)?32?x3)??0??x(k?1)2?1(?x(k)(k)(0)??1?2x3)，取x??6?0 ???(k?1)1(k?0???x?(4?3x)(k)?371?x2)?1??1??????7?则 x(1)??3??0? x(2)??5?????14? ?4?7?????3???7??
||H6||, ,
?(k?1?x1??x(k?1)?2（2）雅可比迭代式为 ??x(k?1)3??(k?1)?x)????110110181(6?5x2)(25?5x1(k)k()?4x3)(k)
(k)(?11?4x2?x4)(k)(?11?x)(k)23
?453?3??13??5?????0????20???5??33?取x(0)??0??(1)2)??0?，则 x???2?11? x(???20? ??????2??0???8??5??11??????5???99??40??
16．若要求精度x(k)?x3??10?，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？解：1） 雅可比迭代矩阵为： ?1?1??0?33?B??1J??0?1??3? ||BJ||? 0.8084
?2????30??7?37??由公式K????ln?1?||BJ||???||x(1)?x(0)||?ln(||B?J||)知，需要10次迭代 （2）雅可比迭代矩阵为：
24
?1?00???20??102?B?250??J???，同上，需要22次迭代。 ?1?0201?8???1??0050??
17．求用高斯－塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。（1）高斯赛德迭代式
??x(k?1)1?1(1?x(k)(k)2?x3)?3??x(k?1)2?1(?x(k?1)?2x(k)13) ?6??x(k?1)?1(4?3x(k?1)(k?1)?371?x2)?1??1??????0??3??9?取x(0)???)??1?(2)?0，则 x(1?????? x????2? ?0???6??9??1???13?2?????21??（2）高斯赛德迭代式
?(k?1)?x1?1k)?10(6?5x(2)?x(k?1)?2?1?10(25?5x(k?1)1?4x(k)3)
?x(k?1)?3?1?x(k)4)?8(?11?4x(k?1)2?(k?1)(k?1)?x4?15(?11?x3)?0??0.6000???0.500?0???取x(0)??0????2)?0? 则x(1)??2.2000?? x(??2.6400?????2.7500??0.336? ?0????2.2550???9??2.267??4
25
18．求用SOR迭代（??1.1）求解15题的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。 解：（1）
?(k?1)(k)1.1(k)?x1?x1?(?3x1?1?x(k)(k)2?x3)?3??x(k?1)(1.12?xk)6x(k)(k?1)(k)2?(?2?x1?2x3) k=0,1, ?6??x(k?1)?x(k)?1.1(?7x(k)?4?3x(k?1)?(k?1)?33731x2)?0??0.3333??0.0492?取x(0)??2)?0?，则 x(1)???0.183? 3 (??????x??0.192?3 ?0????0.5007?????0.5880???x(k?1)?x(k)1.1?11?(?10x(k)1?6?5x(k)2)?10?x(k?1)?x(k)?1(?10x(k)k)22?25?5x(k?1)1?4x(3)（2）?2?10 k=0,1,
?x(k?1)?x(k)1?33?(?8x(k)?11?4x(k?1))32?x(k4)?8?(k?1)1?x4?x(k)?5?11?x1)4(?5x(k)(k?43)?0??0.6000???0.653?5??取x(0)??0???2.1700?2)?0? 则x(1)?????0.1815? x(??2.5625?????0?????2.2399????0.255?4 ??2.032??2
19．设有线性代数方程组
?2x1?x2?x3??1,??2x1?2x2?2x3?4, ???x1?x2?2x3??5;（1） 判断雅克比迭代的收敛性； （2） 判断高斯—塞德尔迭代的收敛性。 解：（1）雅克比迭代矩阵