f(x)x?c3cx211
解：牛顿迭代格式为：xk?1?xkk?f'(x?xk?x2c?kx3k)1?2c k?x3令f(x)?x?cx2，因为当x?0时，f'(x)?1?2cx3?0，f''(x)??6cx4?0
故对于任何满足f(x0)?x3?c?0，
即0?x0?3c的初值x30，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于c。
9．判断用Newton迭代求解方程f(x)?sign(x)x的收敛性。
解：由?f(x)??x? (x?0)????x(x?0)，
(i)当x?0时，f(x)?x，f'(x)?1?0，f''(x)??1?0，要使Newton迭代法
2x4x3收敛对于初值x0，需满足f(x0)?x0?0，显然这样得初值是不存在的，故当x?0时，Newton
迭代法不收敛。
(ii)当x?0时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当x?0时，Newton迭代法也不收
敛。
所以用Newton迭代求解方程f(x)?sign(x)x不收敛。
10．写出求解方程f(x)?1x?1?0的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。
（1）x0?2或x0?0；
（2）x0?2或x0?0；
（3）0?x0?2。 1解：牛顿迭代格式为：xf(xk)x?1k2k?1?xk?f'(x?xk??2xk?xk(k?0,1,2,?)
k)?1x2k1?x2kk?1?1?2xk?xk?(1?xk)2???(1?x0)2 (k?0,1,2,?)
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解之得：xkk?[1?(1?x20)]
（1）当x或xx2k0?20?0时，|1?0|?1，lim(1?x0)??，故迭代序列{xk}不收敛；
k??（2）当x0?2或x0?0时，|1?x0|?1，limxk?0，迭代序列{xk}收敛，但不收敛于方程的
k??解；
（3）当0?x2k0?2时，|1?x0|?1，从而lim(1?x0)?0，limxk?1，迭代序列k??k??{xk}收敛，
且收敛于方程的解。
11．求分别用下列迭代格式求解方程f(x)?xmex?0时的收敛阶。 （1）Newton迭代格式xf(xk)k?1?xk?f'(x；（2）迭代格式x(xk)k?1?xk?mfk)f'(xk)。
解：显然m?0，否则f(x)?xmex?0没意义。 易知Newton迭代格式xf(xk)k?1?xk?f'(x收敛于??0，又
k)xmex2（1）xk?1?x(xk)k?ff'(xmxm?1?xmex?(m?1)xk?xkk)?xk?m?x
k)x20?(m?1k?xk?1m?xk?1klim??xk????x?limkk??0?x?limm?1?xkkk??m?x?mkm
?Newton迭代格式xf(xk)k?1?xk?f'(x的收敛阶为p?1
k)f(xk)k?1?xk?mf'(x?x2（2）迭代格式xk
k)m?xk?x0?x2kk?1klim???(??x2limm?xkk)?k??(0?x)2?lim1kk??m?x?1km
?迭代格式xf(xk)k?1?xk?mf'(x的收敛阶为p?2
k)
12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组x33?x?0是否收敛？
若收敛，收敛于哪一个根？ （1）x0??1.5
（2）x0?0.5
x3解：由下山Newton迭代格式xk?1?xk??k
f(xk)f'(xk)?xk??k32?xkxk?1
13
习题三
14
1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）： ?0.2641x?1?0.1735x2?0.8642x3??0.7521??0.9411x0.1463x?1?0.0175x2?3?0.6310? ???0.8641x1?0.4243x2?0.0711x3?0.2501??解：高斯消元法：
?0.26410.17350.8642?0.7521??0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521??A|b?????1??0.9411?0.01750.14630.6310?=? 0 -0.6358 -2.9332 3.311?
???0.8641?0.42430.0710.2501???? 0 0.1434 2.8986 -2.2107???0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521???? 0 -0.6358 -2.9332 3.3111? ??? 0 0 2.2372 -1.4640??x?( 0.7315, -2.1889, -0.6544)T
高斯列选主元消元法
?0.26410.17350.8642?0.7521??0.9411?0.01750.14630.6310??A|b????0.01750.14630.6310????0.9411? ??0.26410.17350.8642?0.7521????0.8641?0.42430.0710.2501?????0.8641?0.42430.0710.2501???0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310??0.9411?0.01750.14630.6310?
??? 0 0.1784 0.8231 -0.9292??????? 0 -0.4404 0.2054 0.8295 ????? 0 -0.4404 0.2054 0.8295? 0 0.1784 0.8231 -0.9292???0.9411 -0.0175 0.14?63 ???? 0 -0.4404 0.2?0
54 0.8295?? 0 0 5931 0??.9064 -0.x=?0.7315, -2.1889,-0.6544 ?T
2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组
?1.133x1?5.281x2?6.414, ??24.14x1?1.210x2?22.93解：高斯消元法
?1.1330 5.2810 6.4140??1.1330 5.2810 6.4140?A|b?????=??
?24.14 -1.210 22.93?? 0 -113.7284 -113.7284?15
x?(1,1)T
列选主元法
?A|b???1.1330 5.2810 6.4140??24.14 -1.210 22.93???????1.1330 5.2810 6.4140?
?24.14 -1.210 22.93?
??24.1400 -1.2100 22.9300??? 0 5.3378 5.3378? ?x?(1,1)T
3.方程组
Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=?a(1)n?a(1)ij?11i,j?1, 变为??0A(2)=?a(2)nij?为(n-1)i,j?2?(n-1)矩阵.其元素为
a(2)(1)a(1)(1)(1)ij=aij-i1a1j/a11, i,j?2,3,?n.
证明下面结论:（1）当A对称正定时, A(2)也对称正定;
（2）当A对角占优时, A(2)也对角占优.
证明:（1）因为A对称,所以 a(1)ij?a(1)ji;
a(2)(1)(1)(1)(1)(1) a(1)(1)(1)(2)ij=aij-ai1a1j/a11=aji?j1a1i/a11= aji
故A(2)对称;
(1) ? A正定, ? a(1)?0，又 ??a11*?11= L?0A(2)??1A
*?A(2)?,其中?