1.3 因动点产生的直角三角形问题
例3 2012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
动感体验
请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．
请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．
思路点拨
1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y?k．题目x中的k都是一致的．
2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是y?当k＝－2时，反比例函数的解析式是y??（2）在反比例函数y?k． x
2． xk中，如果y随x增大而增大，x那么k＜0．
当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
15抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝k(x?)2?k的对称轴是直
24线
1x??． 图1
21所以当k＜0且x??时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．
215（3）抛物线的顶点Q的坐标是(?,?k)，A、B关于原点O中心对称，
24当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
15由OQ2＝OA2，得(?)2?(?k)2?12?k2．
2422解得k1?，k2??． 3（如图2）3（如图3）
33图2 图3
考点伸展
k（k＞0）交于A、Bx和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．
问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．
如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线y?图4 图5
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例4 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?在正比例函数y?3x?3的图象与y轴交于点A，点M43x的图象上，且MO＝MA．二次函数 2y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述
3二次函数的图象上，点D在一次函数y?x?3的图象上，且
4四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．
思路点拨
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．
2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．
3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．
满分解答
（1）当x＝0时，y?3x?3?3，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 433．将y?22如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为代入y?3313． x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,)．因此AM?222?c?3,532
（2）因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以?解得b??，?3221?b?c?.??25c?3．所以二次函数的解析式为y?x2?x?3．
2（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
5因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入y?x2?x?3，得
21． 3?2m?16m2?10m?3．解得m?或者m＝0（舍去）
2因此点C的坐标为（2，2）．
图2 图3
考点伸展
如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：
727如图4，点C的坐标为(,)．
416
图4
1.5 因动点产生的梯形问题
例 5 2011年义乌市中考第24题
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．
思路点拨
1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．
2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．
满分解答
（1）设抛物线的解析式为y?a(x?4)2?k，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得
?4a?k?0,?a?1, 解得 ??16a?k?12.k??4.??所以二次函数的解析式为y?(x?4)?4?x?8x?12，顶点P的坐标为（4，－4）． （2）由y?x?8x?12?(x?2)(x?6)，知点B的坐标为（6，0）． 假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．
222由两点间的距离公式，得(x?4)?(2x?4)?36．解得x?或x＝－2．
5如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形． 所以，当点D的坐标为(
22224，)时，四边形OPBD为等腰梯形． 55